SOLUTIONS DES EXERCICES
On pose:
d'ou:
S 2m (
00
dx
N = 4;rr 1i 2 /3 Jo zeX-1
301
L'integrale se calcule en prenant comme variable auxiliaire u = ff=. On
trouve:
N=-~ 2 m log(1-~);
4;rr 1i 2 f3
z
ou encore:
log(1-~)=- 41rN1i2/3.
z
S 2m
Cette equation possede une solution en z, done enµ, pour toute valeur
de N, car la fonction deµ du membre de gauche, monotone decroissante,
prend toutes les valeurs entre O (lorsque µ est grand et negatif) et -oo
(lorsque µ tend vers O). Le potentiel chimique ne s'annule jamais, et il n'y
a done pas de condensation de particules clans l'etat k = 0.
(b) On peut remarquer que cette propriete vient de ce que l'integrale donnant
le nombre de particules N diverge en 0. Dans le cas de la boite a trois
dimensions, l'integrale correspondante converge, si bien que le nombre
de particules pouvant occuper les etats k t- 0 sature a la valeur obtenue
pourµ = 0. Si l'on augmente le nombre de particules clans la boite,
necessairement elles s'accumulent clans l'etat fondamental.
2. Dans le cas du piege harmonique, les energies des etats du piege sont donnees
par
1
1
1:(n1,n2) = 1iw1(n1 + -) +1iw2(n2 +-),
2
2
ou les nombres quantiques n1, n2 prennent les valeurs 0,1,2,3 ... Le nombre de
bosons occupant les etats excites du piege, a la limite ou la somme sur les etats
est remplacee par une integrale, est donne par :
La valeur maximale N~ax est obtenue pourµ= 0, et l'on a alors:
N' =
du
du
.
1 loo loo 1
max
(/31iw )2 0
1 0
2 ell} +u2 - 1