1.3 LES DIFFERENTS ENSEMBLES
21
2. [TD] Montrer que si le potentiel V(x) est un polynome du quatrieme degre
avec deux minima asymetriques, les periodes associees a chaque minimum
sont egales 7 •
Exercice 1.11. [OH quantique et dassique a ld] Calculer le nombre de microetats
d'energie inferieure a E clans les cas dassique et quantique.
Exercice 1.12. [Particule libre quantique et dassique clans une boite a Id] Memes
questions que l'Ex. 1.11.
On peut generaliser les resultats precedents. La densite de niveaux peut s'ecrire
g(E) = Lo(E-En),
ou En sont les niveaux d'energie du systeme. Montrons qu'a l'approximation dassique,
on peut evaluer cette somme sans connaitre explicitement les niveaux d'energie, avec
la seule connaissance du potentiel V(q).
Exercice 1.13. [PD] [Formule de Weyl] Dans l'espace ad dimensions, on se donne
une particule soumise a l'hamiltonien classique
2
H(p,q) = L + V(q).
2m
1. Ecrire sa densite de niveaux comme transformee de Laplace inverse de sa
fonction de partition canonique.
2. Apres integration par rapport a p, ecrire g(E) comme une integrale sur q.
3. Faire successivement d = 1,2,3, puis examiner le cas du billard pour lequel
V(q) = 0 clans un domaine borne et infini ailleurs.
II. Dans I' ensemble canonique, I' energie n' est fixee qu' en moyenne par la temperature
du bain thermique avec lequel le systeme est en contact. On montre alors que la densite
de probabilite des microetats n'est plus uniforme. Elle est proportionnelle au facteur
de Boltzmann qui, clans le cas dassique, s' ecrit e-/3H{p,q). La probabilite de trouver un
microetat determine {p, q} clans un domaine d' extension { dp, dq} s' ecrit :
1 1
p(p, q) dp dq = z h3N N! e-f3H{p,q) dp dq,
7 Cette question suppose la maitrise de !'integration dans le plan complexe.
21
2. [TD] Montrer que si le potentiel V(x) est un polynome du quatrieme degre
avec deux minima asymetriques, les periodes associees a chaque minimum
sont egales 7 •
Exercice 1.11. [OH quantique et dassique a ld] Calculer le nombre de microetats
d'energie inferieure a E clans les cas dassique et quantique.
Exercice 1.12. [Particule libre quantique et dassique clans une boite a Id] Memes
questions que l'Ex. 1.11.
On peut generaliser les resultats precedents. La densite de niveaux peut s'ecrire
g(E) = Lo(E-En),
ou En sont les niveaux d'energie du systeme. Montrons qu'a l'approximation dassique,
on peut evaluer cette somme sans connaitre explicitement les niveaux d'energie, avec
la seule connaissance du potentiel V(q).
Exercice 1.13. [PD] [Formule de Weyl] Dans l'espace ad dimensions, on se donne
une particule soumise a l'hamiltonien classique
2
H(p,q) = L + V(q).
2m
1. Ecrire sa densite de niveaux comme transformee de Laplace inverse de sa
fonction de partition canonique.
2. Apres integration par rapport a p, ecrire g(E) comme une integrale sur q.
3. Faire successivement d = 1,2,3, puis examiner le cas du billard pour lequel
V(q) = 0 clans un domaine borne et infini ailleurs.
II. Dans I' ensemble canonique, I' energie n' est fixee qu' en moyenne par la temperature
du bain thermique avec lequel le systeme est en contact. On montre alors que la densite
de probabilite des microetats n'est plus uniforme. Elle est proportionnelle au facteur
de Boltzmann qui, clans le cas dassique, s' ecrit e-/3H{p,q). La probabilite de trouver un
microetat determine {p, q} clans un domaine d' extension { dp, dq} s' ecrit :
1 1
p(p, q) dp dq = z h3N N! e-f3H{p,q) dp dq,
7 Cette question suppose la maitrise de !'integration dans le plan complexe.