SOLUTIONS DES EXERCICES
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Designons par ¢N la solution de l'equation GP correspondant a N bosons. On a,
en tenant compte du fait que f depend aussi explicitement de N :
E(N + l)-E(N) = I f(N + l,¢N+1, V¢N+dd 3 r- I f(N, Si Nest grand, la fonction ¢N+l est voisine de la fonction developpement fait apparaitre le membre de gauche de l'equation GP, et l'on
trouve finalement :
E(N+l)-E(N) = Af[ = A,
car l'integrand n' est autre que la variation de la densite p = N ¢ 2 lorsqu' on passe
de N a N + 1 bosons : son integrale est done egale a 1.
2. Si l'on neglige le terme en gradient dans l'equation GP, la densite s'ecrit immediatement:
p(r) = Nl¢(r)l 2
1
- (µ- Vext)
~ (l-I mwfrf l
g
.
2µ
l
= 1::_(1- Ir~],
g
. R.
I
l
Remarque: Si l'on tient compte du terme en gradient clans l'equation GP,
la densite ne s'annule pas brutalement en Ri, mais tend vers O comme une
gaussienne. En comparant la solution exacte, numerique, a la solution de
Thomas-Fermi, on montre que l'approximation est justifiee.
3. Le condensat a la forme d'un ellipsoi:de de demi-axes Ri,
4. On integre la densite dans l'ellipsoi:de. Les variables se separent, et en effectuant
le changement de variable propose on se ramene a une integrale clans la sphere
de rayon unite. On trouve :
81r µ
81r ( 2 )3/2
N = --R1R2R3 = - -_- µ 512 .
15 g
lSg mw 2