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CHAPITRE 11. FLUIDES QUANTIQUES
II. Effet des interactions
1. Lorsqu'on coupe le piege, l'energie disponible se reduit a l'energie cinetique initiale des atomes clans le piege. Dans le cas d'un oscillateur harmonique, la valeur
moyenne de l'hamiltonien clans un etat propre se decompose a parts egales en
energie cinetique et energie potentielle. Pour chaque atome, l'energie disponible
pour !'expansion est done egale a la moitie de l'energie du fondamental du piege.
Au total, on a done :
1
N
Eexp = -NE(0,0,0) = -(nw1 +nw2 +nw3).
2
4
2. L'energie par atome est done independante du nombre total d'atomes, on
contradiction manifeste avec les donnees experimentales.
III. Equation de Gross-Pitaevskii
1. C'est une application des equations d'Euler avec un multiplicateur de Lagrange
du a la conservation du nombre de particules N = f l1 2 dr. Si on reprend les
notations du chapitre « Calcul des variations. Equations d'Euler » de l'appendice
mathematique, on remplaceraf(x(t),x(t),t) par
n 2
N(N-1)
f((r), V(r)) = N-IV¢(r)l2 + NVextl(r)l 2 +
gl¢(r)i4.
2m
2
Comme, on se limite a reel, on a
et
of
3
- = 2NVext+2N(N-I)g
o
of
n 2
of
n 2
-=2N-V soit V-=2N-!'!.¢.
oV
2m
oV
2m
Les equations d'Euler avec contrainte
of
of
--V--2NJ¢=0
o
oV
redonnent alors I' equation GP, a pres simplification par 2N.
Montrons que ;J. s'identifie au potentiel chimique du condensat :
µ = E(N + 1)-E(N).