SOLUTIONS DES EXERCICES
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Solution 11.7
I. Cas du gaz parfait
1. Les valeurs propres de l'oscillateur harmonique sont:
oi:des entiers n1, n2, n3 prennent les valeurs 0,1,2, ... Noter que E(O, 0,0) = 1(1iw1 +
1iw2 + 1iw3).
2. Avec le choix propose de l'origine des energies, le nombre d'atomes clans les
etats excites est donne par :
00
1
N'= I ef3(1i(w1111 +w2112w31J3)-µ) -1'
n1 ,112,113
ou les n1, n2, n3 ne sont pas simultanement nuls, tandis que le nombre d'occupation du fondamental est donne par
1
No=--e-/3µ -1
(11.24)
Ce dernier etant positif ou nul, µ est necessairement negatif ou nul. La fonction
N'(µ) est monotone croissante. Sa valeur maximale est atteinte pourµ= 0.
3. Lorsqu'on augmente N au-dela de N;,wx> les atomes s'accumulent clans l'etat
fondamental du piege, voir l'Eq. 11.24.
4. (a) Dans la limite consideree, une expression approchee peut etre obtenue
en rempla<;:ant la somme sur les entiers par une integrale triple. Le calcul
portant sur la somme des etats clans le puits harmonique se calque sur
celui fait clans une boite ( Cfl'Ex. 11.2). A la limite ,B1iw - 0, par definition
de l'integrale de Riemann a une dimension
,B1iw I/(n,B1iw) = l
00 f(u) du.
n=O
O
Que veut dire« a la limite »? II signifie qu'on peut negliger les variations
def sur tout intervalle d'amplitude ,B1iw.
A 3d, encore a la limite, on a