SOLUTIONS DES EXERCICES
avec les conditions de quantification
2ln
a
2mn
avec l = 0, ± l, ±2 ...
-b- avec m = 0, ± 1, ±2 ...
Le passage d'une somme discrete a une integrale se fait suivant la regle :
ou A designe l' aire de la surface.
1. Pour la densite de matiere, on a done :
ou encore:
avec a=/3µ.
g I 21rkdk
p- ( 27T) 2
R( r,2 k2 -µ) '
1 + e-- 2111
g 2m (
00
dx
p = 41r n2f3 Jo 1 + eX-a'
291
(11.15)
Il se trouve que l'integrale est analytique (faire le changement de variable
tr-a= u); elle vaut log(l +ea)= Iogea(l + e-a) ""a+ e-a. A basse temperature
a» 1, la correction est exponentiellement petite 7 et l'on trouve finalement
g 2mµ
p= 41r~·
(11.16)
Or, a temperature nulle, la densite s' exprime en fonction du moment de Fermi
(Cf Eq. 11.15) sous la forme:
g
2
k}
p= -1Tkp=g-.
4n 2
47T
On en deduit que le potentiel chimique egal a l'energie de Fermi est independant
de la temperature, a un terme exponentiellement petit pres. On pourra comparer
au cas a 3d de l'Ex. 11.4.
7 Ce qui n'est pas le cas des que d t- 2.