SOLUTIONS DES EXERCICES
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5. Le lemme de Sommerfeld (Voir l'appendice mathematique) permet d'ecrire, au
sens des distributions :
1
rr 2
- - - = Y(x-a)- -o'(x-a) + ... ,
1 + eX-a
6
ou Y(x-a) designe la distribution de Heaviside. On en deduit le developpement
de basse temperature de la densite sous la forme :
p= __L(2mµ)3/2[1+ rr2 (kbT)2]·
6rr 2 n 2
8 µ 2
(11.12)
Or, a temperature nulle, nous avons obtenu :
(11.13)
En comparant ces deux expressions (la densite ne change pas avec la temperature), on obtient, au second ordre en T:
µ=Eprl- rr2 (kbT)2]·
12 E 2
F
Pour la densite d'energie r = E/V, on obtient:
T = __J__}£_ (2mµ)5/2 [1 + 5rr2 (kbT)2].
10rr 2 2m n2
8 µ2
Compte tenu du developpement deµ, il vient :
r= __J__}£_(2mEp)s/2[1+ 5rr2 (kbT)2]·
10rr 2 2m n 2
12 E 2
F
(11.14)
6. La chaleur specifique a volume constant caracterise la variation d'energie associee a une variation de temperature: dB= CvdT. On trouve ici, en derivant l'Eq.
11.14 et en utilisant l'Eq. 11.5 :
7. L'entropie du gaz peut maintenant etre calculee:
S(T) = (T Cv(t)dt = rr2 d(Ep)klT,
Jo t
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