288
CHAPITRE 11. FLUIDES QUANTIQUES
3. Les energies a une particule s'ecrivent:
L d . , d
. 1
N
I,; n; , , .
a ens1te e particu e, p = V = V's ecnt
g I dk
p = (27!')3 1 + ef3(Ek-µ) >
ou g designe la degenerescence des niveaux, comme a l'Ex. 11.2. On a remplace
les sommes discretes par des integrales (Voir l'Eq. 11.3) et pris, pour les fonctions
d' onde, les conditions aux limites periodiques. En posant
il vient
tz2
x=f3-k 2 et a=/3µ,
2m
= _L ( 2m )3/2 (oo x'/2 dx
p 41r2 n 2 f3 Jo 1 + eX-cr ·
Pour une densite fixee, cette relation etablit implicitement la dependance en
temperature du potentiel chimique contenu clans a. Voir les integrales de Fermi
clans l'appendice mathematique.
On trouve de fayon similaire, pour la densite d' energie, l' expression :
T = I,; n;E; = _L !£_ ( 2m )s/2 (oo x3/2 dx.
V
41r 2 2m n 2 f3 Jo 1 + eX-cr
(11.11)
4. Reecrivons l'Eq. 11.10
Le deuxieme terme vaut simplement-~(µN-E). Le calcul explicite du premier
terme n'est possible qu'a la limite thermodynamique. On remplace la somme
discrete sur les i par l'integration continue sur k, ce qui permet par integration
par partie de se debarrasser du logarithme. On trouve alors grace a l'Eq. 11.11
qu'il vaut if3kbE, ce qui demontre la formule proposee.