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CHAPITRE 11. FLUIDES QUANTIQUES
On ne peut qu'approcher cette somme finie. 11 ya manifestement deux cas.
Si K « 1, il faut prendre beaucoup de termes clans la somme (11.8) et on ecrira
done
""
z2
!N(K)=f(K)- I (l2-N2K2)2'
l=N+I
Puis on evaluera la somme discrete (le terme correctif) par l'integrale
r"" t2
1 I"" y2
JN -(t_2 ___ N_2_K_2)-2 dt = N I (y2-K2)2 dy.
Le developpement 3 de cette integrale pour K < 1 donne
2 2 3 4
1 +-K + -K + ·· ·.
3
S
Si K » 1, on peut appliquer directement l'approximation integrale a la somme
(11.8)
Soit, en changeant t en KtN
I
1 1· t
2
1
K - -
dt+[N( )- NK O (l-t2)2
2N2 (l-K2)2"
Le developpement en 1/N et l/K est lentement convergeant
1 (
61
91
3
2
)
[N (K) c,'. - - 1 + - - + - - + · · · + -(1 + - + · · , ) + ·.. .
3N K 4
s K 2 7 K 4
2N
K 2
5. De l'egalite ft(x) = 1t ~ (x), on tire que
.
1
ffv(x) = [N(x)- ·;/~ (x).
3 On aurait pu calculer cette integrale qui vaut
1 ( 2
1
1 + K)
- - - + - l o g -
4 l-K 2 K
1-K '
puis en faire un developpement limite.