SOLUTIONS DES EXERCICES
283
correspondante 2 • II vient
vN (
1
1 sin 21r(N + f) ~)
p(x) = - 1 + - - - ----"--_;.;..
a
2N 2N
sin1r~
·
Bien entendu f p(x)dx = vN; on voit que la densite locale oscille autour d'une
valeur legerement superieure a la densite moyenne p = v~. On supposera cette
densite constante quand N - oo.
2. Le calcul de la transformee de Fourier de ,PI(x) est immediat en ecrivant le sinus
sous forme d'exponentielles. On obtient
(11.6)
Comme attendu, cette fonction est continue Vk puisque
lim l~1(k)l 2 = a r..
k--+ !!l
47rn
a
La distribution des moments est done donnee par
(11.7)
3. Multiplions par x le developpement propose (11.2 de l'enonce) et derivons, il
vient
d ( cosx)
d (2x
2
f, 1 l
dx x sinx =-dx -;z LJ zi_x 2 •
I=!
,r2
D'ou
f(x) = 1r
2
(-1--~ c~sx).
4 sin 2 x x smx
4. La quantite K est sans dimension et on a
( 11.8)
2 ~(z) signifie partie reelle de z.
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correspondante 2 • II vient
vN (
1
1 sin 21r(N + f) ~)
p(x) = - 1 + - - - ----"--_;.;..
a
2N 2N
sin1r~
·
Bien entendu f p(x)dx = vN; on voit que la densite locale oscille autour d'une
valeur legerement superieure a la densite moyenne p = v~. On supposera cette
densite constante quand N - oo.
2. Le calcul de la transformee de Fourier de ,PI(x) est immediat en ecrivant le sinus
sous forme d'exponentielles. On obtient
(11.6)
Comme attendu, cette fonction est continue Vk puisque
lim l~1(k)l 2 = a r..
k--+ !!l
47rn
a
La distribution des moments est done donnee par
(11.7)
3. Multiplions par x le developpement propose (11.2 de l'enonce) et derivons, il
vient
d ( cosx)
d (2x
2
f, 1 l
dx x sinx =-dx -;z LJ zi_x 2 •
I=!
,r2
D'ou
f(x) = 1r
2
(-1--~ c~sx).
4 sin 2 x x smx
4. La quantite K est sans dimension et on a
( 11.8)
2 ~(z) signifie partie reelle de z.