SOLUTIONS DES EXERCICES
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3. Considerons les termes non oscillants. La somme sur les etats fluctue avec N,
mais elle comporte une composante lisse qu'on obtient en remplac;:ant la somme
discrete par une integrale. Cette integrale est prise sur le huitieme de sphere
defini par l, m, n positifs. Le passage de la somme a l'integrale se fait suivant la
regle:
En effet, considerons d'abord le cas a une dimension. On a, par definition de
l'integrale avec les sommes de Riemann pour toute fonctionf continue:
lim h ~ f(nh) = f!(k) dk.
h---->0 LJ
11
lei, h = ~ et pour a grand 1 , on peut done ecrire :
It(n~) ~ ; J f(k) dk.
11
La generalisation a trois dimensions est immediate :
On peut alors integrer la partie lisse de la densite, laquelle est constante dans le
volume. L'integrale s' etend au huitieme de sphere dont le rayon kp est determine
par l'etat d'energie la plus elevee
On trouve:
et pour l' energie
t,,2
-
k2
€p- -
p•
2m
N
g 3
p = V = 61r2 kp,
g 1i 2 1 47r 5 3
T=----k = -p€p.
1r 3 2m 8 5 F 5
(11.1)
(11.2)
1 Ce qui signifie que f est sensiblement constant sur tout intervalle d' amplitude ,r / a. Com me on le verra,
cette condition n'est pas necessairement remplie dans le cas du peuplement de l'etat fondamental pour
Jes bosons.