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CHAPITRE 11. FLUIDES QUANTIQUES
Solution 11.2
1. L'etat fondamental d'un ensemble de N fermions identiques s'obtient en occupant les etats de plus basse energie (g particules par etat). Dans l'espace des
moments, ces etats forment un reseau de points de coordonnees ~, ";,", :" se
trouvant clans le huitieme d'espace defini par la condition selon laquelle les
entiers l, m et n doivent etre plus grands que 1. Les energies des etats individuels
sont proportionnelles au carre du module du vecteur qui joint l'origine a l'un
des points du reseau, et le remplissage se fait done avec une symetrie spherique.
Les homes de l, m et n sont determinees par le nombre total de particules. On a
done:
I
2
8 I . 2 l7rx . 2 m1ry . 2 n:,rz
p(x,y,z)=g
1¢>Imnl =gsm -sm -b-sm - .
"
V
a
c
l,m,n
l,m,n
Pour la densite d' energie cinetique, on a :
soit
r(x,y,z)
+
T(x,y,z) = g I IV¢>1,m,nl 2 ,
l,m,n
n 2 8 I [ l1r] 2 2 l1rx . 2 m1ry . 2 n1rz
g - -
-
cos -sm --sm -
2m V 1
a
a
b
C
,m,n
[
m:,r]2 . 2 l:,rx
2 m:,ry . 2 n:,rz
-
sm -cos --sm -
b
a
b
C
[
n1r] 2 . 2 l1rx . 2 m:,ry
2 n:,rz
+ -
sm -sm --cos-,
C
a
b
C
la somme etant etendue aux memes etats quantiques que pour p.
2. En utilisant les identites proposees, on peut mettre }'expression de la densite de
matiere sous la forme :
p(x,y,z) = t I 1 + (termes oscillants)
l,m,n
et
r(x,y,z)
: : t ,~[(~)' +(7)' +(";)']
+ ( term es oscillants).