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CHAPITRE I. MISE EN JAMBES
On peut s'interroger par exemple sur l'homogeneite d'un systeme. Est-il constitue
d'une seule phase, ou de plusieurs phases en equilibre? Dans quelles conditions ont
lieu les transitions de phase? S'il est homogene, on s'interrogera sur son equation
d'etat, c'est-a-dire sur la relation existant entre les variables d'etat macroscopiques
(PV = NRT est l'exemple le plus simple d'une telle equation d'etat).
De fa<;:on generale, le calcul des etats macroscopiques s'effectue par moyenne probabiliste sur les eta ts microscopiques. La densite de probabilite des etats microscopiques
depend des contraintes globales que l'on exerce sur le systeme. Comme on l'a precise
plus haut, ces contraintes different suivant !'ensemble considere.
I. Dans !'ensemble microcanonique, l'hypothese d'equiprobabilite des microetats
revient a leur denombrement.
Dans le cas discret, cela ne pose pas de probleme conceptuel, meme si le comptage
explicite peut se reveler difficile a faire.
Dans le cas continu, qui est celui de la mecanique classique, l'hypothese de la
densite uniforme revient a ecrire comme densite de probabilite normalisee de ces
microetats
p(p, q) dp dq =
dp dq
JH(p,q)E(E,E+dE) dp dq
ou {p, q} est un vecteur appartenant a l' es pace de phase a 6N dimensions ( voir
l'appendice). Mais comme nous savons que la mecanique quantique, via les inegalites
de Heisenberg, impose une limite inferieure au produit dp dq, il est naturel de paver
l'espace de phase d'hypervolumes elementaires unite h 3 N, ou h designe la constante de
Planck 6 . Par exemple pour une particule se mouvant clans un espace a une dimension,
le volume elementaire est une surface d'aire h. Le nombre de microetats classiques est
egal au nombre de telles surfaces incluses clans la surface totale de l'espace de phase
accessible a la particule. II s'ecrit done:
z = IH(p,q)E(E,E+dE) dp dq
µ
h
.
Zµ s'appelle la fonction de partition microcanonique du systeme.
6 Ce nombre de microetats classiques est bien sur inversement proportionnel ah, mais comme on !'a vu
dans la partie « Mise en jambes », si ce nombre est gigantesque (ce qui sera pratiquement toujours le
cas), le choix de h, pourvu qu'il soit « raisonnablement » petit devant Jes actions en jeu dans le probleme
considere, est sans importance des !ors qu' on s'interesse a son logarithme ( cf. Jes Ex. 1.11 et 1.12 ).
CHAPITRE I. MISE EN JAMBES
On peut s'interroger par exemple sur l'homogeneite d'un systeme. Est-il constitue
d'une seule phase, ou de plusieurs phases en equilibre? Dans quelles conditions ont
lieu les transitions de phase? S'il est homogene, on s'interrogera sur son equation
d'etat, c'est-a-dire sur la relation existant entre les variables d'etat macroscopiques
(PV = NRT est l'exemple le plus simple d'une telle equation d'etat).
De fa<;:on generale, le calcul des etats macroscopiques s'effectue par moyenne probabiliste sur les eta ts microscopiques. La densite de probabilite des etats microscopiques
depend des contraintes globales que l'on exerce sur le systeme. Comme on l'a precise
plus haut, ces contraintes different suivant !'ensemble considere.
I. Dans !'ensemble microcanonique, l'hypothese d'equiprobabilite des microetats
revient a leur denombrement.
Dans le cas discret, cela ne pose pas de probleme conceptuel, meme si le comptage
explicite peut se reveler difficile a faire.
Dans le cas continu, qui est celui de la mecanique classique, l'hypothese de la
densite uniforme revient a ecrire comme densite de probabilite normalisee de ces
microetats
p(p, q) dp dq =
dp dq
JH(p,q)E(E,E+dE) dp dq
ou {p, q} est un vecteur appartenant a l' es pace de phase a 6N dimensions ( voir
l'appendice). Mais comme nous savons que la mecanique quantique, via les inegalites
de Heisenberg, impose une limite inferieure au produit dp dq, il est naturel de paver
l'espace de phase d'hypervolumes elementaires unite h 3 N, ou h designe la constante de
Planck 6 . Par exemple pour une particule se mouvant clans un espace a une dimension,
le volume elementaire est une surface d'aire h. Le nombre de microetats classiques est
egal au nombre de telles surfaces incluses clans la surface totale de l'espace de phase
accessible a la particule. II s'ecrit done:
z = IH(p,q)E(E,E+dE) dp dq
µ
h
.
Zµ s'appelle la fonction de partition microcanonique du systeme.
6 Ce nombre de microetats classiques est bien sur inversement proportionnel ah, mais comme on !'a vu
dans la partie « Mise en jambes », si ce nombre est gigantesque (ce qui sera pratiquement toujours le
cas), le choix de h, pourvu qu'il soit « raisonnablement » petit devant Jes actions en jeu dans le probleme
considere, est sans importance des !ors qu' on s'interesse a son logarithme ( cf. Jes Ex. 1.11 et 1.12 ).