SOLUTIONS DES EXERCICES
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2. De Bil ya a nouveau p(z-1) chemins en moyenne qui conduisent a un site C de
la generation suivante. Or le nombre de chemins conduisant de la premiere
generation consideree a la troisieme est le produit du nombre de chemins
conduisant de la premiere a la seconde par le nombre de chemins conduisant
de la seconde a la troisieme (il n'y a pas de boucle possible clans ce modele).
Comme les tirages sont independants, le nombre moyen de chemins allant de A
a C est done de p 2 (z-1) 2 • On generalise facilement : au bout de n generations,
ce nombre moyen vaut p 11 (z- 1 )11.
3. Pour que le nombre moyen de chemins parcourant n generations ne s'annulle
pas, il faut que la limite de p 11 (z-1) 1 1, quand n ~ oo, ne soit pas nulle. Il faut
done que p(z- l) > 1. D'ou le resultat annonce Pc= l/(z-1).
On voit que pour z > 2, il ya une « vraie » probabilite critique, c'est-a-dire Pc< 1.
Remarque:
1. Cette valeur exacte est a comparer avec la valeur donnee par le champ moyen
(Cfl'Ex. 9.5) ou Pc= z- 1 . Elles sont equivalentes a la limite z ~ oo.
2. La simplicite du calcul tient au fait qu'il ne peut pas y avoir de boucle. Dans
une percolation sur reseau ordinaire, a faible valeur de p, les boucles sont peu
probables. Ainsi les calculs sur l'arbre de Caley, qui n'en a pas, peuvent donner
des idees sur les comportements de reseaux clans ces conditions.
Solution 9.5 La Fig. 9.1 indique une resolution graphique de cette equation autocoherente. Il faut chercher l'intersection de la droite l-P avec la courbe d'equation ( 1-pP)Z.
Comme en p ~ 0 elle est equivalente a 1-zpP, l'Eq. 9.3 de l'enonce admet une solution
autre que la solution triviale P = 0 si et si seulement p > Pc = 1 I z. Le courbe de la Fig.
9.2, calculee numeriquement, indique alors la dependance de Pen p.
Remarque: Les calculs de champ moyen comme ceux sur l'arbre de Caley excluent
tous deux les boucles. Ils donnent pourtant des valeurs de Pc differentes parce que le
calcul de champ moyen suppose que Pi est independant de i, ce qui est faux sur l' arbre
de Caley.
Solution 9.6 On va remplacer chaque triangle par son centre de gravite, de telle sorte
que chaque site soit pris une fois et une fois seulement. On voit qu'on obtient un
nouveau reseau semblable au reseau initial (de rapport V3 et tourne d'un angle i).
On occupe le super site avec la regle de la majorite, ce qui veut dire qu'il est occupe si
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2. De Bil ya a nouveau p(z-1) chemins en moyenne qui conduisent a un site C de
la generation suivante. Or le nombre de chemins conduisant de la premiere
generation consideree a la troisieme est le produit du nombre de chemins
conduisant de la premiere a la seconde par le nombre de chemins conduisant
de la seconde a la troisieme (il n'y a pas de boucle possible clans ce modele).
Comme les tirages sont independants, le nombre moyen de chemins allant de A
a C est done de p 2 (z-1) 2 • On generalise facilement : au bout de n generations,
ce nombre moyen vaut p 11 (z- 1 )11.
3. Pour que le nombre moyen de chemins parcourant n generations ne s'annulle
pas, il faut que la limite de p 11 (z-1) 1 1, quand n ~ oo, ne soit pas nulle. Il faut
done que p(z- l) > 1. D'ou le resultat annonce Pc= l/(z-1).
On voit que pour z > 2, il ya une « vraie » probabilite critique, c'est-a-dire Pc< 1.
Remarque:
1. Cette valeur exacte est a comparer avec la valeur donnee par le champ moyen
(Cfl'Ex. 9.5) ou Pc= z- 1 . Elles sont equivalentes a la limite z ~ oo.
2. La simplicite du calcul tient au fait qu'il ne peut pas y avoir de boucle. Dans
une percolation sur reseau ordinaire, a faible valeur de p, les boucles sont peu
probables. Ainsi les calculs sur l'arbre de Caley, qui n'en a pas, peuvent donner
des idees sur les comportements de reseaux clans ces conditions.
Solution 9.5 La Fig. 9.1 indique une resolution graphique de cette equation autocoherente. Il faut chercher l'intersection de la droite l-P avec la courbe d'equation ( 1-pP)Z.
Comme en p ~ 0 elle est equivalente a 1-zpP, l'Eq. 9.3 de l'enonce admet une solution
autre que la solution triviale P = 0 si et si seulement p > Pc = 1 I z. Le courbe de la Fig.
9.2, calculee numeriquement, indique alors la dependance de Pen p.
Remarque: Les calculs de champ moyen comme ceux sur l'arbre de Caley excluent
tous deux les boucles. Ils donnent pourtant des valeurs de Pc differentes parce que le
calcul de champ moyen suppose que Pi est independant de i, ce qui est faux sur l' arbre
de Caley.
Solution 9.6 On va remplacer chaque triangle par son centre de gravite, de telle sorte
que chaque site soit pris une fois et une fois seulement. On voit qu'on obtient un
nouveau reseau semblable au reseau initial (de rapport V3 et tourne d'un angle i).
On occupe le super site avec la regle de la majorite, ce qui veut dire qu'il est occupe si