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CHAPITRE 9. PERCOLATION
est occupe et le site immediatement a sa gauche est vide ». De meme
00
represente 1 la probabilite que le site soit occupe.
4. La probabilite qu'un amas ait une taille s est evidemment proportionnelle a
p 5 • Comme cette probabilite doit etre normalisee (un amas tire au hasard a
necessairement une taille s > O), cette probabilite vaut
Pr(S=s) = ___t_ =p 5 - 1 (1-p).
I,'(' ps
De la on tire que
00
1
s = "\1 sps-1 (1-p) = - .
~
l-p
A Id, le seul amas percolant est la droite tout entiere. Pour cela il faut que taus
les sites soient occupes. Done Pc = 1.
Remarque : La percolation a ld est un cas pathologique puisqu'on ne peut pas
approcher Pc par valeurs superieures.
Solution 9.3 Si n est le nombre de generations, on a
n-2
N = 1 +z+z(z-1) +z(z-1)2 + · · · +z(z-1)11- 2 = 1 +z I(z- IY
r=O
1- (z- l)n-1
=l+z
,
l-(z-1)
ce qui demontre la relation demandee.
Solution 9.4
1. Considerons un site occupe A d'une generation. 11 ya z-1 chemins conduisant
de ce site a un des sites B de la generation suivante, occupe avec la probabilite p.
Le nombre moyen de chemins reliant A et Best done p(z-1).
1 Pour calculer L sp', on derive terme a terme l'identite LP'= ( 1-p t 1 par rapport a p, puis on multiplie
par p.