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CHAPITRE 8. MOUVEMENT BROWNIEN ET AON
5. A petite force, I' extension vaut
b2 N N
d~L rrg(f3K)u-il.
3 . .
i=I ;=I
(8.32)
On somme facilement la double serie geometrique, et le resultat, pour N >> 1,
est:
d ~ Nb/3b2 1 + g(f3K) .
3 l-g(f3K)
Pour /JK >> l, on a g(f3K) - l- l/(/3K), et done
2
d ~ 3 {3F(Lo.
B. Regime de grande force
1. En developpant a l'ordre deux clans les x;, l'energie de la chaine vaut:
b N
N-1
F ~ _,z K ~ _, _,
z
E=-N(Fb+K)+- L.Jxi +- LJ(x;-X;+i) .
2 .
2 .
1=!
1=!
(8.33)
(8.34)
(8.35)
2. L'energie, et done aussi le poids de Boltzmann, ne depend de Xp que par les
deux termes (Fb/2) xt et (K/2)(xp-Xp_1)2. L'equation de recurrence en decoule
immediatement.
3. Le changement de variable propose clans l'enonce, joint au developpement a
I' ordre dominant clans les quantites 1 / (f3K) et f3Fb xt supposees petites, conduit
a:
( =t)
C (
b _,2)Id_, -f/2;2 (
(_,)
1 I µ v d 2 Zp-1 (_, )]
Zp xp = - 1-/JF-xp
ue
Zp-1 Xp + - u u d d Xp
fJK
2
2/JK
uµ uv
µ,v
(8.36)
et l'integration sur les variables gaussiennes u1, u2 demontre l'equation de
recurrence :
4. En injectant clans (8.37) la solution proposee, on trouve que c'est bien la solution,
a condition d'avoir
a= ~/3Kf3Fb.
(8.38)