260
CHAPITRE 8. MOUVEMENT BROWNIEN ET ADN
2. Cette force derive du potentiel U = !k11h 2 + !k_j_(x 2 +y2), ou:
dFr
k _ Fr(f) _ F
k11 = de ( e) ) _j_ - -e- - e.
(8.9)
II-c) A l'equilibre a la temperature T, la densite de probabilite de presence est
donnee par la mesure de Boltzmann :
(8.10)
3. D'apres !'expression (8.10), les fluctuations de x 2 decroissent lorsque k_j_ augmente, et celles de h 2 decroissent lorsque k11 augmente. Au vu de la figure, on
trouve done que k_j_ et k11 augmentent avec la force, ainsi qu'avec !'elongation
d'equilibre e. Done Fr(e)/f et dFr/de croissent avec e: la caracteristique Fr(f)
est une fonction convexe. On voit aussi que Fr(l) devient tres grande pour
e- ISµm.
4. Les fluctuations de x sont reliees a la force F par
2
kT kTe
=-=- k_j_ F
(8.11)
Les cinq forces de l' experience sont done, en pN : F = .035, .13, .44, 2.4, 8.0.
III. Un modele simple d'elasticite de I' ADN
1. L'energie etant la somme des energies de chacun des maillons, les vecteurs r;
sont des variables aleatoires independantes. La densite de probabilite des angles
B;, ,p;, est done :
Pp({B;,¢>d) =:kn [sinB;e8Fbcose;] .
(8.12)
l
2. La mesure de Boltzmann etant symetrique par rotation autour de l'axe z,
on a : (cos¢;) = (sin¢;) = 0, done : (7) = (r;) = 0. En ce qui concerne la
composante z, le calcul de sa valeur moyenne a deja ete fait clans la partie I :
(rf) = b(cosB;) = b(coth u-1/u), ou u = f3Fb.
3. L'elongation totale moyenne vaut