258
CHAPITRE 8. MOUVEMENT BROWNIEN ET ADN
qui s'integre en t immediatement:
¢( u, t) = ¢( u, 0) e(icu-D112 )t.
Done, en prenant la transformee de Fourier inverse du produit ordinaire des transformees de Fourier, on obtient le produit de convolution
P(x, t) = P(x, 0) * _..!:_ f e(icu-D112)te-i11xdu.
21f
L'integration sur u est immediate et on retrouve !'equation (8.2) si P(x, O) = o(x),
c'est-a-dire si la particule est a l'origine a l'instant t = 0.
Solution 8.5
I. Generalites et ordres de grandeur
1. Lorsque la force F est nulle, l'energie est independante de !'orientation du
batonnet, la densite de probabilite est done la densite uniforme sur la sphere :
sine
sine
Po(e,¢) = f sineded¢ = 41r
(8.4)
I -b) La force typique necessaire pour orienter le batonnet est donnee par
Fb/kT ~ 1. Pour le fragment d'ADN on trouve F ~ 10- 13 N, et pour l'epingle
on obtient F ~ 10- 19 N. Dans ce deuxieme cas les fluctuations thermiques sont
tres faibles et, en consequence, la force necessaire pour les vaincre est tres petite
egalement.
1-c) La probabilite est donnee par la mesure de Boltzmann. La densite de
probabilite pour trouver le point M en un point donne r de la sphere est done
proportionnelle a JJFJ'. Exprimee en coordonnees spheriques, cette densite vaut :
Pp(e,¢) = 1 sineJJFbcosll.
(8.5)
La constante de normalisation Z vaut :
Z =
sinede
d¢ sinh(.,BFb)
l
Tr
12,r
47r
o
o
fiFb
(8.6)