SOLUTIONS DES EXERCICES
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2. Pour 3ue le denominateur ait un sens quand h et T tendent vers zero, il faut que
D = ~ reste fini. Done T - h 2 et pour que c reste fini, il faut que (p- q) - h.
2 2
Notons que \~ est alors en h 2 et peut etre neglige devant 1. On trouve alors la
densite de probabilite
1
1
(x-ct) 2
f(x) ~ - - ---e-4i5"t,
Y2n vwi
(8.2)
On verifie que Iimt--->of(x) = o(x), comme il se doit: a !'instant initial le mobile
est eertainement a l'origine.
Solution 8.4 Eerivons que l'evenement « la particule se trouve en x a !'instant t + T »
resulte des deux evenements disjoints : « elle se trouvait en x-h ou en x + h a !'instant
t ».Ona, avee des notations evidentes
P(x, t +r) = pP(x-h, t) + qP(x+ h, t).
Soit, en retranehant P(x, t) aux deux membres
P(x, t + r)-P(x, t) = p(P(x-h, t)-P(x, t)) + q(P(x + h, t)-P(x, t)).
Si on se limite a l'ordre le plus bas en T et h dans le developpement limite, il reste
7 aP =p(-haP + h 2 a 2 P)+q(haP + h 2 a 2 P)·
at
ax 2 ax2
ax 2 ax 2
Done
BP h aP
h 2 8 2 P
8t =-:;: a)q-p) + 2T 8x2.
Et avee les notations preeedentes
BP
BP
8 2 P
-=-c-+D-.
at
ax
ax 2
(8.3)
On peut verifier que !'equation (8.2) est une solution de eette equation differentielle.
On peut aussi le demontrer direetement de la fa<;on suivante. On introduit la
fonetion earaeteristique
L' equation differentielle ( 8.3) devient ( voir le theoreme sur la derivee de la transformee
de Fourier).
;; = icu