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CHAPITRE 8. MOUVEMENT BROWNIEN ET ADN
Remarque: Contrairement au mouvement balistique (mouvement d'un projectile) ou
l' on voit la distance croitre proportionnellement au temps, le mouvement brownien
est caracterise par une distance qui croit comme la racine carree du temps, et done
une vitesse qui tend vers 0. Asymptotiquement, l'ivrogne s'eloignera indefiniment de
l'origine, de plus en plus lentement. II le fera avec une probabilite egale dans toutes les
directions.
Solution 8.2
1. Calculons valeur moyenne et ecart quadratique moyen de En, On a
_
1
1
2 1
21
2
En = - X 1 + - X (-1) = 0, En = - X 1 + - X (-1) = 1
2
2
2
2
done er;,, = 1. La loi des grands nombres indique que
Xn = nEn = 0 et que er x = ncr: = n.
ti
c,i
Le theoreme de la limite centrale donne de plus la loi de probabilite de xn
devenue variable continue x
1
x 2
P(x) dx = - - e - I i i dx.
V2im
2. Le calcul se fait de fa~on analogue. et on obtient
1
1
(X-ll(p--q))2
P(x)=-e - ~
V2ic ..J4npq
(8.1)
Le centroi:de de la gaussienne est donne par (x) = n(p-q) i= 0; il se deplace avec
n.
Solution 8.3
1. Si ht= l, l'Eq. 8.1 se reecrit
1
1
(x-ll(p-q)/1)2
P(x) = - -
e s .. pq1i 2
V2rc ..J4npqh 2
Pour le passage a la limite continue, on remplace n par ~. L'argument de
l'exponentielle s'ecrit alors:
(x-ct) 2
2h2J.. ( 1- T2c2 ) ,
T
h2
ce qui implique que le centroi:de se deplace a la vitesse c.