CHAPITRE 8
Mouvement brownien et AON
Solution 8.1 On peut toujours prendre x0 = 0 et alors
Xn = Eo + EJ + · · · + Em
ou les E; sont n variables aleatoires independantes prenant les valeurs (±1) avec la
probabilite 1/2. Une somme de variables aleatoires de moyenne nulle est encore une
variable aleatoire de moyenne nulle, done (x11 ) = 0.
Calculons le carre de la distance a I' origine :
x~ = l:: Ei + l:: E;Ej,
i,tj
Comme Ef = 1 et (E;Ej) = (E;)(Ej) = 0 (tirages independants), ii vient (x~) = n. Et done
la distance a l'origine croit comme yn.
Remarque: La distance moyenne a l'origine est en fait ( {Zf,), alors que nous avons
considere {<;({S, plus simple a calculer. Dans le cas d'une distribution gaussienne, le
rapport des deux est vi[n.
La generalisation a plusieurs dimensions est evidente : on ecrit vectoriellement
OM0 = EJ + · · · + En,
on eleve au carre scalaire et comme IEI = 1 et que toutes les orientations de E sont
equiprobables 1 , on a encore une valeur moyenne des produits scalaires nulle ( (E;.Ej) =
(cosO)) et done (IOM0 1 2 ) = n.
1 Ced est vrai aussi bien sur un reseau cam~ (4 orientations) ou cubique (6 orientations) que dans le cas
continu.