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CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
Solution 7.20 On pourrait repartir de ce que nous avons montre avec le modele
d'Ising, mais il est aussi rapide de calquer ce que nous avons fait. On remplace ninj
clans l'hamiltonien par (ni-n)(nj-n)-n 2 + n(ni + nj), on choisit n = (ni), on neglige le
premier produit et enfin on ecrit
avec
1
hi= -Eqn ni + 2 Eqn 2 .
La fonction de partition grand canonique reduite au« volume» de un site s'ecrit done
Zg = L 13µn; c!3h(n;) = e-!f3qrn2 ( 1 + l3(<'qn+µ)).
n;=O,I
Soit, pour le grand potentiel,
1
Wg = 2 qEn 2 -kb Tln ( 1 + l3(<'qn+µ)).
On tire la relation d'autocoherence du fait que
Ce qui donne
awg
JJkqn+µ)
n = (n;) = - aµ = 1 + ef3(€qn+µ).
1 + l3(€q11+µ) = _1 __
1-n
(7.26)
(7.27)
On voit comment le potentiel chimique determine la densite moyenne 10 . D'ou !'equation d'etat
1
2
-wg = --qrn -kbTin(I-n) = pvo.
2
Et aussi, bien sur, Qg = Nwg.
A faible densite et pour E = 0 on retrouve !'equation des gaz parfaits.
(7.28)
On peut voir facilement qu'avec µ = -¥ et T < T0 !'equation 7.26 reste invariante
clans le changement n - 1-n (il faut utiliser !'equation d'autocoherence 7.27). Ce qui
signifie que sur une isotherme a T < Tc la pression de vapeur est egale a celle du gaz.
C'est le plateau de coexistence liquide-vapeur. On l'obtient, comme avec !'equation de
Van der Waals, par une construction de Maxwell.
10 Sauf si µ = -7 ( qui correspond a B = 0 dans le modele d'Ising), auquel cas ii ya deux solutions ng et n,.