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CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
1. 11 faut calculer e = E/N, puis sa derivee par rapport a T. De l'Eq. 7.13 on tire
.
alogz
logz, pms e =-~.On a
alogz
q 2 alogz am
- - = Jqmtanh(j3Jqm)- -Jm + - - --.
8{3
2
am 8{3
L' energie lib re (f = -kb Tlog z) etant stationnaire par rapport a m, le second
terme de la somme est nul. De plus l'Eq. 7.14 permet d'eliminer la tanh, il reste
al ors
Done
q 2
e=--Jm.
2
(7.19)
2. Au voisinage de T = T,, m est petit, on peut done porter le developpement
tanhx ::e x-f clans l'Eq. 7.14, ce qui donne au premier ordre en T-T,
{3Jq-l
T
T
m 2 ::e 3 - - ::e 3( ~ -1) ::e 3(1- - ),
(f3Jq)3
T
T,
puisque{3Jq = T,/T.
3. En portant clans l'Eq. 7.19, on voit que pour T = T,,
Bien st'.ir si T > T,, c = 0. La Fig. 7.5 montre que 8 /l est une fonction decroissante
de T. L'Eq. 7.19 montre que c croit de O a 3kb/2 pour T = T; et s'annule de fa<;:on
discontinue a partir de T7.
Remarque: Dans un calcul exact (cf. Onsager), au voisinage de T0 on aurait m ~
(T,-T)f3 avec/3 = 1/8 au lieu de 1/2 trouve en champ moyen et la chaleur specifique
divergerait logarithmiquement au lieu de connaitre seulement une discontinuite. On
peut montrer que ces proprietes 8 sont tres generales; elles ne dependent pas de
8 II ne faut pas confondre ici,8 avec !'inverse de la temperature. C'est la notation standard de cet exposant
appele exposant critique. II yen a d'autres, par exemple y, lie a la divergence de la susceptibilite magnetique
(ou de la compressibilite pour un fluide). Ils ont le meme caractere universe!.