SOLUTIONS DES EXERCICES
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A l'aide de l'identite de la question 1-,
Rempla<;:ons a La somme de la grande parenthese est facile a calculer et vaut zN coshN y .J' iJ.
Posant y = x vN, on est finalement ramene a
A la limite N ~ oo, on peut appliquer la methode du col. Avec les notations de
l'appendice mathematique
x2
f(x) = N(- -log(2cosh {ffix)).
2
Le minimum de cette fonction est atteint pour
xo = {fff tanh -/ffixo.
On voit alors que le terme dominant de F s'ecrit
N
N
F =--log(2cosh -/ffixo) + -x6.
/3
2/3
On retrouve, pour B = 0, les Eqs. 7.13 et 7.14 obtenues a l'approximation du
champ moyen en posant x0 = m yfJJ. Pour l'identification formelle il aurait
fallu considerer ici non pas l'interaction J, mais Jq. On comprend pourquoi :
clans l'approximation standard du champ moyen , chaque spin connait une
interaction J avec ses q voisins, ici chaque spin connait une interaction J / N avec
taus les N -1 autres.
Solution 7.16 Cet exercice utilise les resultats de l'Ex. 7.12, qu'il est recommande de
voir avant.