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CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
La formule 7.18 est exacte, mais ne permet pas de calculs. Si on neglige les effets
de surface, on peut remplacer l'indice 1 par n'importe quel i. Si on convient
enfin de remplacer (J(x)) par f( (x) ), on tire
(er) = tanh,B( (cr)q/ + B),
ou q est la coordinence du reseau (nombre de plus proches voisins d'un site).
C'est !'equation demandee.
Remarque : Revenons sur !'approximation (J(x)) ~ f( (x) ). Soit f(x) une fonction
reguliere de la variable aleatoire x de moyenne (x) et de variance cr 2 (rien a voir avec le
spin ! ) . On peut ecrire
1
f (x) = f ( (x)) + (x-(x) )J' ( (x)) + 2 (x-(x) )2f" ( (x)) + · · ·
En prenant la moyenne des deux membres de cette equation, il reste
(J(x)) = f((x)) + 1cr 2 J"((x)) + · · ·.
L'approximation utilisee sera d'autant meilleure que les fluctuations de la magnetisation seront foibles. C'est une propriete generale de !'approximation du champ
moyen.
Solution 7.15
1. II suffit d'ecrire l'identite
1 2 _,,;
1
_r;;z 2
- 2 y + v2ay=- 2 (y-av2) +a,
puis de faire le changement de variable x = y-a V2 dans l'Eq. 13.1 de I' Appendice
pour obtenir le resultat demande.
2. Par definition
qui peut encore s'ecrire
avec
z = l>!~J( i!J(I;cr;l2-1),
{er}
Z = e-!~J Iea~,
{er}