1.2 LE PASSAGE A LA LIMITE THERMODYNAMIQUE
IS
Remarque: La fonction SN(x) est continue et meme derivable pour tout N. Mais sa
limite thermodynamique ne l'est pas. C'est un «accident» mathematique de ce type
qui rend compte des discontinuites des grandeurs physiques ( densite, magnetisation
etc.) advenant lors des transitions de phase.
1.2.1 Un exemple de passage a la limite : le filtre passe-bas
Cet exercice n' est pas a proprement parler un exercice de mecanique statistique, mais
il concerne le passage a la limite thermodynamique : on analyse !'impedance z11 (r)
d'un circuit electrique « en echelle » comportant n cellules identiques dependant d'une
resistance ohmique r, lorsque n - oo. On montrera que, a la limite ou r - 0, le circuit
presente tout de meme une partie dissipative, alors que si I' on prend d' emblee r = 0,
cette partie dissipative n'est evidemment pas presente. Autrement dit,
lim limz11 (r) -:f::. lim lim z,i(r).
11--->
Le parallele avec la magnetisation m11 (T) du modele d'Ising est frappant. Son interet
est de montrer, avec des moyens elementaires, comment un traitement mathematique
convenable permet de resoudre un paradoxe physique. Dans le cas du modele de Ising,
il ne devrait pas y avoir d'aimantation spontanee a champ magnetique exterieur nul;
ici, il ne devrait pas avoir y de partie dissipative dans !'impedance d'un circuit compose
uniquement d'impedances imaginaires pures.
Exercice 1.7. [AD] [Circuit en echelle]
1. On considere le circuit electrique de la Fig. 1.1. 11 est compose de n cellules
identiques. Soit Zn !'impedance de la neme cellule. Montrer que
z,i+ I = Z1 + 1 1 ,
- + -
Z2 Zn
ou Z1 et Z2 sont les impedances composant les cellules.
FIGURE I.I. Circuit compose den sections.
Calculer z*, le point fixe de la suite ( 1.1 ).
(1.1)
IS
Remarque: La fonction SN(x) est continue et meme derivable pour tout N. Mais sa
limite thermodynamique ne l'est pas. C'est un «accident» mathematique de ce type
qui rend compte des discontinuites des grandeurs physiques ( densite, magnetisation
etc.) advenant lors des transitions de phase.
1.2.1 Un exemple de passage a la limite : le filtre passe-bas
Cet exercice n' est pas a proprement parler un exercice de mecanique statistique, mais
il concerne le passage a la limite thermodynamique : on analyse !'impedance z11 (r)
d'un circuit electrique « en echelle » comportant n cellules identiques dependant d'une
resistance ohmique r, lorsque n - oo. On montrera que, a la limite ou r - 0, le circuit
presente tout de meme une partie dissipative, alors que si I' on prend d' emblee r = 0,
cette partie dissipative n'est evidemment pas presente. Autrement dit,
lim limz11 (r) -:f::. lim lim z,i(r).
11--->
Le parallele avec la magnetisation m11 (T) du modele d'Ising est frappant. Son interet
est de montrer, avec des moyens elementaires, comment un traitement mathematique
convenable permet de resoudre un paradoxe physique. Dans le cas du modele de Ising,
il ne devrait pas y avoir d'aimantation spontanee a champ magnetique exterieur nul;
ici, il ne devrait pas avoir y de partie dissipative dans !'impedance d'un circuit compose
uniquement d'impedances imaginaires pures.
Exercice 1.7. [AD] [Circuit en echelle]
1. On considere le circuit electrique de la Fig. 1.1. 11 est compose de n cellules
identiques. Soit Zn !'impedance de la neme cellule. Montrer que
z,i+ I = Z1 + 1 1 ,
- + -
Z2 Zn
ou Z1 et Z2 sont les impedances composant les cellules.
FIGURE I.I. Circuit compose den sections.
Calculer z*, le point fixe de la suite ( 1.1 ).
(1.1)