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CHAPITRE I. MISE EN JAMBES
Exercice 1.4. [PD] [Dilution homeopathique] On considere un litre d'eau contenant n = 10 23 molecules d'un solute 2 • On melange ce litre a 99 litres d' eau pure.
On agite vigoureusement. Combien reste-il de molecules de solute clans un litre
extrait de ce melange dilue? On le dilue de la meme fai;:on une fois encore. Soit
52 cette nouvelle dilution. Plus generalement on appellera Sr la solution 3 ainsi
diluee r fois de suite a 1 %. Combien de molecules reste-t-il clans 512 ? Et clans 520 ?
Montrer pourquoi les probabilites doivent s'introduire.
1.1 .4 Volume et surface de !'hypersphere
Les calculs sont indiques clans l'appendice. Il est impossible de se faire une idee intuitive
de la notion de volume clans un espace a N dimensions pour N grand. Par exemple, a
R fixe, VN ---t O quand N ---too (Vair l'appendice mathematique).
Exercice 1.5. [PD J [Hypersphere J Dessiner, clans l'intervalle [ 0, 1], la fonction
y = t 11 pour n = 1, 2, 10 et 100. On considere une hypersphere de rayon R. Montrer
que, si la sphere est remplie d'une matiere de densite uniforme, l'essentiel de la
masse se trouve a la surface des que n est suffisamment grand.
1.2 Le passage a la limite thermodynamique
En general, en physique, le nombre de constituants N peut etre tres grand mais il n'est
pas infini. On fait les calculs «ala limite thermodynamique » parce qu'ils permettent
des formules analytiques, tout en donnant des resultats voisins et meme infiniment
voisins des calculs a N grands. Par exemple, la fonction
( ) -IN sin(2n + l)x
SN X -
)
n=O
2n + 1
est d'autant plus difficile a etudier que Nest grand. Par contre il est facile de montrer
qu'a la limite N ---t oo, elle est egale a la fonction creneau discontinue qui est impaire,
periodique de periode 2rr et qui vaut ;f clans l'intervalle ]O,rr[.
Exercice 1.6. [ Serie de Fourier] Verifier ce resultat.
2 Ce qui correspond typiquement a quelques grammes de produit quel qu'il soit (cf. !'Ex. 1.2).
3 C'est une dilution que !es homeopathes appellent CH r.
CHAPITRE I. MISE EN JAMBES
Exercice 1.4. [PD] [Dilution homeopathique] On considere un litre d'eau contenant n = 10 23 molecules d'un solute 2 • On melange ce litre a 99 litres d' eau pure.
On agite vigoureusement. Combien reste-il de molecules de solute clans un litre
extrait de ce melange dilue? On le dilue de la meme fai;:on une fois encore. Soit
52 cette nouvelle dilution. Plus generalement on appellera Sr la solution 3 ainsi
diluee r fois de suite a 1 %. Combien de molecules reste-t-il clans 512 ? Et clans 520 ?
Montrer pourquoi les probabilites doivent s'introduire.
1.1 .4 Volume et surface de !'hypersphere
Les calculs sont indiques clans l'appendice. Il est impossible de se faire une idee intuitive
de la notion de volume clans un espace a N dimensions pour N grand. Par exemple, a
R fixe, VN ---t O quand N ---too (Vair l'appendice mathematique).
Exercice 1.5. [PD J [Hypersphere J Dessiner, clans l'intervalle [ 0, 1], la fonction
y = t 11 pour n = 1, 2, 10 et 100. On considere une hypersphere de rayon R. Montrer
que, si la sphere est remplie d'une matiere de densite uniforme, l'essentiel de la
masse se trouve a la surface des que n est suffisamment grand.
1.2 Le passage a la limite thermodynamique
En general, en physique, le nombre de constituants N peut etre tres grand mais il n'est
pas infini. On fait les calculs «ala limite thermodynamique » parce qu'ils permettent
des formules analytiques, tout en donnant des resultats voisins et meme infiniment
voisins des calculs a N grands. Par exemple, la fonction
( ) -IN sin(2n + l)x
SN X -
)
n=O
2n + 1
est d'autant plus difficile a etudier que Nest grand. Par contre il est facile de montrer
qu'a la limite N ---t oo, elle est egale a la fonction creneau discontinue qui est impaire,
periodique de periode 2rr et qui vaut ;f clans l'intervalle ]O,rr[.
Exercice 1.6. [ Serie de Fourier] Verifier ce resultat.
2 Ce qui correspond typiquement a quelques grammes de produit quel qu'il soit (cf. !'Ex. 1.2).
3 C'est une dilution que !es homeopathes appellent CH r.