I. I LES GRANDS NOMBRES
13
1.1.3 Theoreme de la limite centrale
Commern;:ons par rappeler « la loi des grands nombres ». Elle peut s'enoncer ainsi: si
N variables aleatoires Xi independantes ont meme valeur moyenne (esperance) X et
meme ecart quadratique cr 2 , alors la nouvelle variable aleatoire 1 X =~Li Xi a meme
valeur moyenne (esperance) et cri- = ~ comme ecart quadratique. Cet ecart tend done
vers O avec 1/N.
Le theoreme de la limite centrale (TLC) va au-dela: il donne en plus (a la limite
N ~ oo) la loi de probabilite de X, et ce, quelle que soit celle des Xi, 11 affirme que
X, variable continue, a une densite de distribution gaussienne. Cette gaussienne est
evidemment centree en X et a cri- pour ecart quadratique, soit :
l
(X-XJ2
P(X) = - - - e - 20 ' 1
~2rrcriC'est un theoreme asymptotique, c'est-a-dire d'autant mieux verifie que Nest grand
(et aussi que X n'est trap loin de X). Quand N ~ oo, cri- ~ 0, P(X) tend vers la
distribution de Dirac o(X - X) et X devient certainement egal a X.
Attention: Le TLC ne s'applique que si les variables aleatoires Xi sont independantes
et ont une valeur moyenne et un er finis. 11 ne s'appliquerait pas par exemple pour des
distributions de Lorenz (de Cauchy pour les mathematiciens), qui ont une densite de
b b . 1 . , a 1
pro a 1 1te - - 2 - - 2 •
7r X +a
Exercice 1.3. [Theoreme de la Limite centrale J On considere un volume V. On
suppose que les N molecules de gaz qui le remplissent ont la meme probabilite
d'etre clans ses moities gauche et droite. Soit n le nombre de molecules clans la
moitie droite.
1. Calculer exactement la loi de probabilite de n.
2. Montrer qu'on peut appliquer le theoreme de la limite centrale (TLC). Que
donne-t-il? [AD] Montrer que la formule de Stirling appliquee au resultat
de la question 1 permet de retrouver clans ce cas particulier le TLC.
1 X est la moyenne arithmetique, a ne pas confondre avec la moyenne probabiliste ou esperance mathematique. Le theoreme stipule que la premiere tend vers la seconde.
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1.1.3 Theoreme de la limite centrale
Commern;:ons par rappeler « la loi des grands nombres ». Elle peut s'enoncer ainsi: si
N variables aleatoires Xi independantes ont meme valeur moyenne (esperance) X et
meme ecart quadratique cr 2 , alors la nouvelle variable aleatoire 1 X =~Li Xi a meme
valeur moyenne (esperance) et cri- = ~ comme ecart quadratique. Cet ecart tend done
vers O avec 1/N.
Le theoreme de la limite centrale (TLC) va au-dela: il donne en plus (a la limite
N ~ oo) la loi de probabilite de X, et ce, quelle que soit celle des Xi, 11 affirme que
X, variable continue, a une densite de distribution gaussienne. Cette gaussienne est
evidemment centree en X et a cri- pour ecart quadratique, soit :
l
(X-XJ2
P(X) = - - - e - 20 ' 1
~2rrcriC'est un theoreme asymptotique, c'est-a-dire d'autant mieux verifie que Nest grand
(et aussi que X n'est trap loin de X). Quand N ~ oo, cri- ~ 0, P(X) tend vers la
distribution de Dirac o(X - X) et X devient certainement egal a X.
Attention: Le TLC ne s'applique que si les variables aleatoires Xi sont independantes
et ont une valeur moyenne et un er finis. 11 ne s'appliquerait pas par exemple pour des
distributions de Lorenz (de Cauchy pour les mathematiciens), qui ont une densite de
b b . 1 . , a 1
pro a 1 1te - - 2 - - 2 •
7r X +a
Exercice 1.3. [Theoreme de la Limite centrale J On considere un volume V. On
suppose que les N molecules de gaz qui le remplissent ont la meme probabilite
d'etre clans ses moities gauche et droite. Soit n le nombre de molecules clans la
moitie droite.
1. Calculer exactement la loi de probabilite de n.
2. Montrer qu'on peut appliquer le theoreme de la limite centrale (TLC). Que
donne-t-il? [AD] Montrer que la formule de Stirling appliquee au resultat
de la question 1 permet de retrouver clans ce cas particulier le TLC.
1 X est la moyenne arithmetique, a ne pas confondre avec la moyenne probabiliste ou esperance mathematique. Le theoreme stipule que la premiere tend vers la seconde.