SOLUTIONS DES EXERCICES
Solution 7.12
1. Evaluons
.Z:(cri-m)(crj-m) = .Z:(cri-m)(.Z:(crj-m)],

i
j(i)
235
ou j(i) represente taus les sites j plus proches voisins de i. Soit q ( coordinence)
le nombre de plus proches voisins d'un site ( 4 sur reseau carre simple, 6 sur
un reseau cubique simple). Si la coordinence etait infinie, la somme sur j(i)
serait etendue a tout l'espace et serait nulle par definition de la moyenne.
Notre approximation est de la considerer nulle meme pour q fini 3 . A la limite
thermodynamique, elle sera done d'autant meilleure que la coordinence sera
grande.
2. Les deux autres termes (a un site) peuvent se calculer exactement, si on neglige
les effets de bard :
I m(cri+crj) = ~2m .Z:.Z:cri = m .Z:cri I 1.

2
i j(i)
i
j(i)
La division par 2 evite le double comptage clans L-· Comme L-j(i) 1 = q,
I m(cri+CTj) = mq.Z:cri,

En fin
I m2 = m2 I 1 = ~qNm2.
. .
. .
2


En resume, }'approximation de champ moyen permet d'ecrire l'hamiltonien
comme somme de N hamiltoniens independants
1
hi= -(lqm + B) CTi + J 2 qm 2 .
3. La fonction de partition canonique se calcule comme clans l'Ex. 7.2. II suffit d'y
rem placer B par B + Jqm et d' ajouter le terme constant. On obtient
Zi = I l3Uqm+B)cr;e-/JV1112 = z.
cr;=±l
(7.12)
3 On dit souvent que !'approximation du champ moyen « neglige » Jes fluctuations; c'est peu precis. II Jes
neglige a cet endroit du calcul, pour aboutir a un modele a spins independants dans un champ moyen
coherent, mais on verra que (cr 2 )-(a-)2 * 0.