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CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
Soit
z = 2 coshf3(Jqm + B)e-Pilm
2 •
(7.13)
Et
Z=z!v.
II y a deux fas;ons de calculer m :
(a) On minimise l'energie libre par rapport am, ce qui revient a resoudre
oinz
- = O
om
(b) On prend la derivee logarithmique de (7.12). II vient
a;;z = /3(0-).
Ces deux methodes conduisent a I' equation auto-coherente 4
m = tanh/J(B+ Jmq).
(7.14)
4. On peut voir graphiquement que si B * 0, ii ya une solution seulement a cette
equation qui assure le minimum de l'energie libre, mais si B = 0, la Fig. 7.3
montre qu'il ya deux cas.
- /3/q > 1, ii ya 2 solutions (symetriques) en plus de m = 0 (courbe en traits
plein)
- /3/q < 1, la seule solution est m = 0 (courbe en tirete).
II est instructif de voir ou sont les minima de f(m) pour diverses temperatures.
On voit (Fig. 7.4) que pour kbT < kbT, = Jq les solutions m * 0 sont les
minima de f(m) (tandis que m = 0 correspond a un maximum relatif). Done, a
I' equilibre, la theorie du champ moyen prevoit une magnetisation spontanee
(detruite des que T > Tc). On verifie que les abscisses des minimums def
(Fig. 7.4) coi:ncident avec ceux des points d'intersection de la bissectrice avec la
fonction tanh de la Fig. 7.3.
Cette « brisure de symetrie » est etonnante, puisque si B = 0, aucune direction
n' est privilegiee clans l'hamiltonien. Elle est bien verifiee experimentalement :
certaines substances presentent une aimantation permanente (en !'absence de
4 En anglais, self consistent.