232
11 ya plusieurs remarques a faire.
- On a neglige Jes effets de bord
CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
- 11 faudrait multiplier toute Jes degenerescences par 2 (a cause de la permutation toujours possible spins up, spin down)
- Les facteurs 1 /2 des trois dernieres lignes evitent le double comptage
- On doit verifier que g(E2) + g(E;) + g(En = N(N-1)/2: c'est le nombre de
combinaisons de 2 objets parmi N.
- 11 faut egalement verifier que clans le developpement de logZ, Jes termes en
N 2 disparaissent: l'energie libre doit etre une fonction additive
- Pour q = 4, ii faudrait ajouter le basculement de 3 spins voisins parce qu'il
correspond a une excitation 2J(3q- 4) qui se trouve valoir 4qJ. C'est une
degenerescence accidentelle.
On a done aux premiers ordres, si q -:f::. 4
Z = 2e-f3Eo [ 1 + Ne- 2 f3qf + Nie-4f3(q-l)J + ! N(N - l -q)e-4f3qf].
2
2
Soit en utilisant le developpement log( 1 + x) ~ x-x 2 /2 + · · ·
q
1
1
logZ ~ log 2-f3Eo + Ne- 2 f3qf + N-e- 4 /J(q-l)J + -N(N -q- l)e-4f3qf - -N 2 e-4f3ql
2
2
2
D'ou on tire
E = - ologZ ~ NJ[-i + 2qe- 2 f3qf + 2q(q- l )e- 4 /J(q-l)J -2q(q + l)e-4f3qf]
8/3
2
Solution 7.11
1. [Sans interaction]
Si J = 0, le systeme est en fait compose de N paires de spins { 1, 2} independants.
A basse temperature, si K » B , Jes spins correspondants seront opposes, par
contre si B domine, ils s'aligneront suivant le champ.
La fonction de partition se factorise en
(7.7)
Avec
E
1 8 log z
K
_ 213 K K cosh 2f3B - B sinh 2f3B
-=----=--+e
2N
2 8/3
2
1 + e- 2 /3K cosh 2/JB ·