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CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
3. Deux spins voisins basculent. liB2 = 4(q- l)J, et done B2 =Bo+ 12/ et g(B2) ==
2xfN.
4. On a ici
Z(/3) = Ig(Bm)e-f3E,,, = 2e-f3Eo + 2Ne-f3(Eo+BJ) + 4Ne-f3(Eo+l2!) + ....
Soit
Z(/3) = 2e-f3Eo ( 1 + Ne-Bf3J + 2Ne- 12 PJ + · · ·).
,
-
a~z
5. C est un developpement de basse temperature quand,8--+ oo. Comme B = -ifi]
et log( 1 + 1:) ~ 1:,
E =Bo+ BNJe-B/3! ( 1 + 3e- 4 PJ + ... ).
6. 11 ya quatre configurations qui assurent /1B3 = 4qJ, a savoir le basculement de :
(a) deux spins non voisins; il ya N fa1yons de retourner le premier, et N-5
fa1yons de retourner le deuxieme, d' ou g = N (N - 5),
(b) trois spins voisins alignes, avec g = 2N x 2
( c) trois spins voisins a angle droit g = 4N x 2
( d) un carre de 4 spins voisins g = N x 2
Done au total g(B3 ) = N(N + 9). On pourra verifier i) que le nombre total
de basculements de deux spins est N(N -1), ii) que les termes en N 2 ,N 3 • · •
disparaissent dans l' expression de B, comme il se doit, a cause de l' extensivite de
l'energie. Dans le calcul deg on a tenu compte des eventuels doubles comptages
de la degenerescence du fondamental.
Solution 7.10 Si Bo represente l'energie de l'etat fondamental et B; ceux des etats
excites, la fonction de partition s' ecrit
ou les g(B;) represente les degenerescences des etats correspondants.
1. 11 ya deux cas a considerer suivant l'intensite du champ magnetique.
(a) B < Jq, alors le fondamental est obtenu quand tousles spins sont alternes.
q
Bo=-NJ2·