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CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
4. On permute l'ordre des sommations. On effectue d'abord la somme L{cr) a
l'interieur du crochet. On effectue ensuite les sommations sur les sites. Les
sommes
~
n; 11j
n,,, n11
L.i
pour des sites i,j · · · , m, n fixes valent toujours O sauf si taus les ni, nj··· sont pairs,
auquel cas elles valent 2N. En effet si, par exemple, ni est impair, on effectue
d'abord la somme pour
Le couple de spins
Plus generalement, les seuls cycles survivants sont les boucles fermees parcourues
une fois (en grise sur les exemples de la Fig. 7.2). La boucle la plus petite est un
carre. Les termes en v, v 2 et v 3 donnent done O et la premiere contribution est
en v 4 • Dans un reseau infini (sans effet de bard) il ya N telles boucles. Puis il y
aura les 2N rectangles ([1,2] et (2,1]) en v 6 • Les termes en v 7 ne contribuent pas.
En v 8 il y aura
- les N carres de cote 2,
- les 2N rectangles ([1,3] et (3,1]),
- les 4N carres [2,2] prives d'un carre d'angle (1,1]
- les N(N-5)/2 paires 2 de petits carres [l,l].
Tout calcul fait, on trouve
1
Z = (coshf3!) 13 2N (1 + Nv 4 + 2Nv 6 + -N(N + 13)v 8 + · · · ).
(7.6)
2
5. Portons le developpement en v de cosh 2 /31 = ( l -v 2 t 1 clans l'Eq. 7.6 et utilisons
le fait que log(l + x) ~ x- f + · · ·. 11 vient
F = -NkTiog(Z) ~ -NkT(ln2 + v 2 + 3/2v 4 + 7 /3v 6 + 27 /4v 8 + ... ).
2 Une fois un des N carres choisi, on doit en choisir N-1 parmi ceux qui n'ont pas de cote commun avec
le premier, soit N-5 possibilites. II faut ensuite eviter le double comptage.
CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
4. On permute l'ordre des sommations. On effectue d'abord la somme L{cr) a
l'interieur du crochet. On effectue ensuite les sommations sur les sites. Les
sommes
~
n; 11j
n,,, n11
L.i
pour des sites i,j · · · , m, n fixes valent toujours O sauf si taus les ni, nj··· sont pairs,
auquel cas elles valent 2N. En effet si, par exemple, ni est impair, on effectue
d'abord la somme pour
Le couple de spins
Plus generalement, les seuls cycles survivants sont les boucles fermees parcourues
une fois (en grise sur les exemples de la Fig. 7.2). La boucle la plus petite est un
carre. Les termes en v, v 2 et v 3 donnent done O et la premiere contribution est
en v 4 • Dans un reseau infini (sans effet de bard) il ya N telles boucles. Puis il y
aura les 2N rectangles ([1,2] et (2,1]) en v 6 • Les termes en v 7 ne contribuent pas.
En v 8 il y aura
- les N carres de cote 2,
- les 2N rectangles ([1,3] et (3,1]),
- les 4N carres [2,2] prives d'un carre d'angle (1,1]
- les N(N-5)/2 paires 2 de petits carres [l,l].
Tout calcul fait, on trouve
1
Z = (coshf3!) 13 2N (1 + Nv 4 + 2Nv 6 + -N(N + 13)v 8 + · · · ).
(7.6)
2
5. Portons le developpement en v de cosh 2 /31 = ( l -v 2 t 1 clans l'Eq. 7.6 et utilisons
le fait que log(l + x) ~ x- f + · · ·. 11 vient
F = -NkTiog(Z) ~ -NkT(ln2 + v 2 + 3/2v 4 + 7 /3v 6 + 27 /4v 8 + ... ).
2 Une fois un des N carres choisi, on doit en choisir N-1 parmi ceux qui n'ont pas de cote commun avec
le premier, soit N-5 possibilites. II faut ensuite eviter le double comptage.