SOLUTIONS DES EXERCICES
227
et done que
lim lim M(B,N) = lim O = 0.
N->ooB->O
N
N->oo
Mais il n' etait pas evident qu' on obtiendrait le meme resultat en inversant les
limites, c'est-a-dire en calculant, ce qu'on a fait
r r M(B,N)
i~°tJN~ N .
Et d'ailleurs si d > 2 les deux limites sont differentes : il ya bien clans ce cas
magnetisation spontanee.
Solution 7.8
1. Quand ,B = 0, la fonction de partition canonique Z = L{er) rfl I, er;eri se reduit a
L{erl 1 = 2N. C'est le nombre total de microetats possibles a toutes les energies.
C'est un resultat general: il suffit d'ecrire Z = I:g(E)e-f3E qui se deduit pour
E
T = o a LEg(E).
2. 13 represente le nombre de liens entre plus proches voisins. Si on neglige les
effets de surface, 13 = Nq/2. La division par 2 evite le double comptage.
3. L'identite
rfler;eri = (1 +V
possibles de
Z = I: n ( 1 + V
Z=(cosh,BJ) 13 l::[l+v I:
(i,j)
(i,j)ic(k,I)
Repetons-le: la premiere somme porte sur les etats de spin (±1), les suivantes
sur les sites. Si T t= 0, vest inferieur a un et d'autant plus petit que Test grand.
C'est bien un developpement de haute temperature.
Dans le terme en v 2 par exemple, j peut etre egal a k, mais alors on aura l * i.
Plus generalement le terme en v 11 contient n paires distinctes de spins, mais les
spins individuels peuvent se retrouver plusieurs fois, comme on va le voir clans
des paires differentes.
227
et done que
lim lim M(B,N) = lim O = 0.
N->ooB->O
N
N->oo
Mais il n' etait pas evident qu' on obtiendrait le meme resultat en inversant les
limites, c'est-a-dire en calculant, ce qu'on a fait
r r M(B,N)
i~°tJN~ N .
Et d'ailleurs si d > 2 les deux limites sont differentes : il ya bien clans ce cas
magnetisation spontanee.
Solution 7.8
1. Quand ,B = 0, la fonction de partition canonique Z = L{er) rfl I,
L{erl 1 = 2N. C'est le nombre total de microetats possibles a toutes les energies.
C'est un resultat general: il suffit d'ecrire Z = I:g(E)e-f3E qui se deduit pour
E
T = o a LEg(E).
2. 13 represente le nombre de liens entre plus proches voisins. Si on neglige les
effets de surface, 13 = Nq/2. La division par 2 evite le double comptage.
3. L'identite
rfler;eri = (1 +V
possibles de
Z = I: n ( 1 + V
Z=(cosh,BJ) 13 l::[l+v I:
(i,j)
(i,j)ic(k,I)
Repetons-le: la premiere somme porte sur les etats de spin (±1), les suivantes
sur les sites. Si T t= 0, vest inferieur a un et d'autant plus petit que Test grand.
C'est bien un developpement de haute temperature.
Dans le terme en v 2 par exemple, j peut etre egal a k, mais alors on aura l * i.
Plus generalement le terme en v 11 contient n paires distinctes de spins, mais les
spins individuels peuvent se retrouver plusieurs fois, comme on va le voir clans
des paires differentes.