SOLUTIONS DES EXERCICES
Solution 7.6
1. On a
225
ologZ
E =-8/3 =-(N-l)Jtanh/3].
2. Pour f3 ~ oo, on obtient Ea = -(N - I)]. A ehaque frontiere de ehangement de
spin il ya un gain en energie de 2]. Soit
E =Ea+ 2r] = ](2r-N + 1).
(7.3)
Fixer E, e'est fixer r E [0,N-1). 11 ya (N; 1 ) ehoix possibles (degenereseenee).
C'est la fonetion de partition microeanonique Zµ3. La fonetion de partition eanonique s'eerit done
z = t ( N; 1 ), --/J/(2,-N+ I) = ,'f(N-1) (1 + ,-2/31 t-1 = ( 2 cosh,BJ)N-1.
(On a applique la formule du binome de Newton). Comme on aurait pu aussi
bien partir de l' etat ou tous les spins valaient -1, il faut multiplier encore par 2
pour retrouver le resultat de l'Ex. 7.4.
4. Appliquons la formule de Stirling
z - (N-1)! "" (N-l)N-1
µ- r!(N-1-r)! rr(N-I-r)N-1-r·
(7.4)
Et a l'aide de l'Eq. 7.3:
I
ologZµ
ologZµ dr
I
-=k
=k
-=k[-logr+log(N-I-r)]-.
T
~
& ~
U
D'ou on tire
2]
(N-1
)
kT =log -r--I .
Soit, en tirant r puis E, le resultat de la question 1. C'est une autre methode de
ealcul de la fonetion de partition du modele d'Ising a Id.
5. Le gain en energie est f,,.E = 2r] = 2(N - l)x], tandis qu'un petit ealcul donne un
gain entropique
kbTlogZµ = Tt,,.S ""-kT(N-l)xlogx.
(On a developpe au premier ordre en x l'Eq. 7.4). Done l'energie libre deeroit.
Ceci signifie que si l' on part de la situation ou tous les spins sont align es ( a
T = O), le moindre apport d'energie rend le systeme instable. 11 n'y a done pas de
magnetisation spontanee. Le bilan est different a 2d.