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CHAPITRE 7. MODELE D'ISING
Solution 7.2 Comme les spins sont independants, la fonction de partition se factorise
Et
Z = /" avec z = I !3Ber = /JB + e-f3B = 2 coshfiB.
(er}
ologZ
(E) = - - - =-NBtanhfiB
ap
.
Enfin comme
on a (M) = -N tanhfiB.
Comme toujours, il faut verifier que les limites a haute et basse temperature
correspondent ace qu'on attend. 11 est facile de voir que quand r - 0 (c'est-a- dire
fi - oo ), on a (E) = -NB et (M) = N : tous les spins sont alignes avec le champ
magnetique. Quand T - oo, (E) = (M) = 0 : les spins sont up ou down avec la meme
probabilite.
Remarque: On aurait pu utiliser l'Ex. 7.1, ecrire
Z= re-f3H(er) = I!3Bl:;er;,
(er}
{er}
et regrouper les termes qui ont meme nombre de spins+,
z = f (:+)13B(2N+-N) = e-f3N (1 + e2f3B)N = (e-f3B + /JB)N.
N+=o
On a applique la formule du binome de Newton: LZ=o (~)xk = ( 1 +x)M. Comme presque
toujours, cette fac;:on de calculer Z en partant de Zµ est inutilement longue.
Solution 7 .3
1. 11 ya 2 4 microetats. A temperature nulle, les 4 spins sont paralleles, done E = -4];
pour r - oo, tousles spins sont equiprobables done E = 0. La table 7.1 resume
clans ses trois premieres colonnes les configurations possibles de spin avec leur
degenerescence g.
On en deduit
Z= Ie-f3H(er) = Ig(E)e-f3E = 2e- 4 f3! + 12+2e 4 f3 1 = 4(3+cosh4fiJ).
(er)
E