CHAPITRE 7
Modele d'lsing
Solution 7.1 A haute temperature, !'interaction ne joue aucune role et les spins sont
distribues en ± 1 avec la meme probabilite. En moyenne, on aura done H = M = 0.
A la limite T ~ 0, le systeme est dans son etat d' energie le plus bas (le fondamental),
celui qui minimise l'energie libre F = E-TS. 11 faut distinguer deux cas:
- B > 0, le fondamental est atteint avec Soit
H=-Jil-BN.
(i,j)
Evaluons la somme des interactions
ou j(i) represente les q indices j plus proches voisins de i. En negligeant les effets
de bord,
1 N
N
I 1 =-Iq=-2.
( . ')
2 .
2
I,}
1=J
Le facteur 1 /2 evite le double comptage. Finalement H = -l~q -BN et M = -BN.
- B < 0, alors pour avoir l'energie minimum il faut prendre tousles spins egaux a
-1 (spins« down»). D'ou H = -l~q + BN et M = BN
Remarque : Comment sont les spins pour T = 0 et B = 0? Les deux etats « tous
les spins up» ou « tous les spins down» minimisent l'energie. Ils sont done tous
les deux possibles. Et on verra qu'il suffit d'un tout petit champ magnetique B > 0
(respectivement < O) exterieur pour assurer tousles spins up (respectivement down).
On peut deja prevoir que la fonction M(B) est discontinue en B = 0 a temperature
nulle.