SOLUTIONS DES EXERCICES
Solution 6.4
1. L'hamiltonien d'une molecule s' ecrit 4
p2 1
h= ---mw 2 r 2 .
2m 2
La fonction de partition (en coordonnees polaires) s'ecrit:
1 I .aci. I 2 2)
z = h 3 e-,., 2,,,-imw r dOdzrdrdp,
ce qui, apres integration sur p, (} et z donne
21rL LR Blmw2r2 d
2V
( Rmw2B: )
z=e-2
r r=
e2-1
,.i3
o
,l3 R2f3mw2
.
Et comme les molecules sont independantes, on a :
ZN
Z=N!'
211
2. La quantite e-f3hdp r dr dz dB est proportionnelle a la probabilite de trouver
la molecule clans le domaine [r,r+dr], [O,O+de, [z,z+dz] et [p,p+dp]. La
probabilite de trouver une molecule clans le domaine [ r, r + dr], quels que soient
(}, z et p s' obtiendra en integrant le facteur de Boltzmann e-f3h par rapport a
toutes les variables, sauf r. 11 est inutile de faire cette integration puisqu'on ne
s'interesse qu'a la dependance en r de cette probabilite qui est ref3f mw 2 r 2 dr. Soit
en normalisant
ef3 f mw2 r2 f3mw2
P(r)dr=
1
rdr.
(6.3)
ef3imw2R2 -1
Quand il ya N molecules independantes, la concentration a la distance r de l'axe
est simplement NP(r).
3. Soient N1 et N2 les nombres de molecules des deux especes. On aura, en vertu
de l'Eq. 6.3
2
( ) N
ef3m1w2't- 1
n2 r = ---3.eff3w2r2(mi-md m2
- .
n1 (r) N1
m1 ef3m2w 2 J¥- -1
Et pour la concentration relative il restera :
n2 (r) n1 (O) = eff3w2r 2 (m2-mi).
n1 (r) n2 (O)
4 Attention : la partie potentielle est de signe oppose au cas de l'oscillateur harmonique.