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CHAPITRE 5. PETITS PROBLEMES, JOLIS RESULTATS
Remarque: Meme s'il s'agit d'une physique differente, ce probleme est formellement le meme que celui des spins magnetiques (Ex. 3.1) ; c' est un systeme a
deux niveaux. On le verra explicitement en posant
2. [Le caoutchouc]
1
er;= -b [2x;-(a+ b)].
a(a) L'hamiltonien est encore somme d'hamiltoniens independants
H = I h; avec h; = -Xx;.
On aura alors Z = zN, avec
z~
e- x=2
.
l
a RXxd
sinh,BXa
a
,BX
D'ou
E=-8IogZ=-NX(
a )+N.
8,B
tanh,BXa
,B
a la limite T - 0 (,B - oo ), E = E = -NaX. Maintenant
I .
a
a
lill
::,
=
/J-->O tanh,BXa ,BXa- (/J~a) 3 ,BX 1 _ (/J~a) 2 •
1
1
Ce qui donnera
.
. -N(Xa) 2
hm E= hm
k
=O.
T ..... oo
T_.oo 3 bT
Comme precedemment, ces resultats etaient attendus.
(b) Comme E = -XL, on aura
-
(
a
) N
L = N tanh,BXa - ,BX'
qui tendra vers aN et O respectivement quand r- 0 et r- oo.
(5.15)
(c) Aux foibles forces, un developpement limite de !'equation precedente
donne X = L NJa2 , qui est encore la loi de Hooke.