SOLUTIONS DES EXERCICES
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Resultat qui, certes, cofacide avec le precedent a basse densite et haute temperature, mais qui est manifestement pathologique a temperature nulle.
Comme cette fois-ci f ~ oo, on pourrait songer a revenir a la formule
_ ea [ f ]PV _
log Zg, - - 3 V 1 + -
- N
,l
V
et ne pas utiliser l'Eq. 5.8. Le calcul direct de la derivee par rapport a f3 donne
al ors
E = N[ ~kb T -p Bf _I_].
2
8/3 1 + i V
11 apparait un terme correctif a l'Eq. 5.9. Dans le cas du potentiel carre :
E 3
w 0 pJ3Vo
N = 2 kb T - Vo 1 + ~ ( ef3Vo - 1 )'
La difference avec le calcul precedent est qu'a T = 0,
E 3
- = -kbT-pVo.
N
2
(5.10)
Mais cette quantite n' est finie qu' en apparence : sip reste fini non nul, p croit
comme N, et on retrouve la meme pathologie.
Tout se passe comme si, a temperature nulle, et quand on moyenne sur le
desordre, les p puits se logent au meme endroit ( ce qui etait interdit clans le
calcul canonique que nous avons fait), attirant toutes les particules.
En fait il faut revenir a l'Eq. 5.6. Certes, clans la moyenne, les cas ou les puits
de potentiel se superposent sont rares, mais quand f3 ~ oo, leur poids JJVo tend
vers l'infini. Ce sont done eux qui vont determiner la moyenne. Un modele plus
physique serait d'introduire entre les impuretes un potentiel repulsif de courte
portee interdisant le recouvrement, mais les calculs deviennent complexes.
Solution 5.7
1. [La chaine de keratine]
(a) L'hamiltonien H({ld) est la somme de N hamiltoniens independants et
discernables H = L h(l;), avec h(l;) = -Xl;. Done Z = zN avec
I
z; = I 13x1; = 13xa + l3Xb.
I;