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CHAPITRE 5. PETITS PROBLEM ES, )OLIS RESULTATS
En effet !'integrand vaut toujours 1 quand rest exterieur aux boules de potentiel
et e-f3Vo sinon. On voit que, pourvu qu'il n'y ait pas de recouvrement, le resultat
ne depend pas des p positions Ra des impuretes. La moyenne sur le desordre est
done inutile. On en deduit :
E
al
3
-f3Vo
- = - og z = -kb T + Vo
wope
.
N
0/3
2
1 + w0p(e-f3Vo -1)
On verifie qu' on retrouve bien les valeurs prevues precedemment.
On retrouve encore - evidemment - ce resultat en faisant les calculs clans
!'ensemble grand canonique.
Maintenant si on applique la formule generale 5.9, on trouve
E = N(1kbT +wopVoe-f3Vo ).
Resultat qui coi:ncide avec le precedent a basse densite et haute temperature.
7. Avec le potentiel attractif propose, le calcul est analogue. Reprenons les deux cas
limites:
- A kbT « Vo, toutes les particules seront piegees clans les puits et l'energie sera
celle d'un gaz parfait diminuee de la profondeur des puits, soit
3
E = N[-kbT-Vo].
2
- A kb T » V0, comme precedemment on prevoit
3
E = N [ -kb T - Vopwo].
2
Le calcul explicite est analogue; il suffit de changer le signe de V0 •
z = __!_ f e-f3L~=I V(r-Ra)dr = __!_ [V -pwo + pwoe8Vo) = V [ 1 + pwo(e8Vo -1) ).
,-13
,l3
,l3
Et finalement
On verifie qu'on retrouve bien les deux cas limites.
11 ya maintenant un probleme: si on applique la formule generale 5.9, ii vient