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CHAPITRE 4. L'OSCILLATEUR HARMONIQUE
Remarque : Ce qui precede met en evidence un resultat tres general.
- A la limite thermodynamique (N - oo) les valeurs des observables ( energie,
chaleur specifique, compressibilite, etc.) coi'ncident quel que soit l'ensemble ou
elles ont ete calculees.
- A la limite des hautes temperatures (!3- 0), ou des hautes energies, les resultats
des calculs quantiques et classiques sont les memes.
Solution 4.3 Soit g(E) la densite de niveaux. On sait que la fonction de partition
canonique est sa transformee de Laplace :
Z(/3) = J g(E)e-f3EdE.
Verifions qu'en prenant la transformee de Laplace inverse on retrouve g(E). On peut
reecrire l'Eq. 4.3
-f]~N
e 2
Z = - - - - -
(I-e-f31iw)N'
Calculons sa transformee de Laplace inverse par la formule classique d'inversion
1
e-f3!lfNJJE
1:,-Iz= -
r
d/3
2i1r J!l. (I-e-f31iw)N ,
ou 11 est une droite parallele a l'axe imaginaire d'abscisse quelconque positive a (les
poles sont sur l'axe imaginaire). Si E < Nnw/2 ii faut fermer le contour d'integration
par un demi-cercle a droite qui n'entoure aucun pole, et done l'integrale est nulle. Si
E > Nnw/2, plutot que d'utiliser la methode des residus, on ecrit que 3
(I-e-f31iwfN = f (N + R- l)e-f31iwR.
R=O
R
Apres inversion de la sommation et de l'integrale (justifiee par le theoreme de Lebesgue), on a:
.£:iz = ~ f (N +R-1) ( rf3(E-1iw(N/2+R))df3.
2m R=O
R
)!l.
3 II est facile de calculer le developpement de Taylor
(1-xtN = I +Nx+ ~N(N-1) + ... + (N + R-l)K' + .. ·
2!
R