SOLUTIONS DES EXERCICES
posons /3 = a+ iy, on peut reecrire
£-1 z = _!_ f (N + R- l)lr(E-nw(N /2+R)) lim ('
1 eiy(E-nw(N /2+R)) dy.
2rr R=O
R
,1---->oo ) _,1
L'integrale est un sinus cardinal. On sait par ailleurs que
1 . sin At
1m - - =rro,
,l-,oo
t
ou o est la distribution de Dirac a l'origine. On en deduit que
fi(N+R-1)
N
i:-• Z = Li
o(E-tiw(- + R)) = g(E).
R=O
R
2
On retrouve bien que les energies possibles sont de la forme
N
ER = tiw(R + l ),
( N +R-1)
avec la degenerescence
R
.
183
Solution 4.4 Comme a l'Ex. 4.2, on montre que l'energie par atome est donnee par
tiw cash n~/3
e = 3 - - - -
2 sinh n~/3 ·
D' ou on tire la chaleur specifique
ae
( tiw )
2
1
Cy = ar = 3 kb 2kb T sinh2 _fu;!_ •
2kvT
Posant Te= tiwf kb, on obtient la dependance de Cy en T donnee par Eisntein. A haute
temperature on retrouve bien la limite classique Cy = 3kb, Einstein obtient une valeur
limite de l'ordre de 6, qui correspond a 3Nkb!l ou Nkb = 'R = 8,32 JK- 1 mo1- 1 et
J = 4, 18 cal. A basse temperature maintenant:
c ""-3kb(tiw)
2 e-[~~
y
kbT
'
qui tend exponentiellement vers 0.
Remarque : En fait, la chaleur specifique tend vers O comme T 3 • Debye obtiendra
ce resultat en generalisant l'approche d'Einstein a une distribution de frequences de
vibration.