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CHAPITRE 4. L'OSCILLATEUR HARMONIQUE
ou [X] designe la partie entiere de X. C' est le nombre ( discret) possible d' etats
d' energie inferieure a E. On observera que sa traduction continue correspond
au cas classique (Eq. 4.1 ). En effet, la fonction continue qui approche au mieux
la fonction [x] est y = x-1/2 et non y = x.
Canonique, un oscillateur quantique. L' obtention de z est immediat, c' est la somme
d'une serie geometrique convergente
00
l
1
z = I e-,Bliw(n+:z) =
.
n=O
2 sinh,Blif
On en deduit par exemple que
(E) = _ 81n z = nw 1 '
a,a 2 tanh,Blif
qui tend vers kb T quand ,B -+ 0.
Remarque : La limite haute temperature est classique : c'est celle qu'aurait
donnee le theoreme d' equipartition de l' energie, soit 1 /2kb T par degre de liberte
quadratique (ici, il ya l'energie cinetique et l'energie potentielle).
Microcanonique, N oscillateurs quantiques. L'energie totale du systeme de N oscillateurs s'ecrit
N
E = nw(n1 + n2 + · · · + nN + - ).
2
Fixer E c'est fixer L~, ni = M. La fonction de partition microcanonique sera
done egale au nombre de choix possibles 1 de N entiers ni, tous positifs ou nuls
et de somme donnee egale a M. Ce calcul necessite une astuce. Pour fixer les
idees, prenons M = 6 et N = 4. Sur la Fig. 4.1 on a porte les ni boules separees par
N -1 traits. lei n1 = 2, n2 = 0, n3 = 3 et n4 = 1. II ya 3 traits. Toutes les partitions
de 6 peuvent etre obtenues en melangeant clans un sac les M = 6 boules et les
N -1 = 3 traits, soit M + N -1 objets. On trace ensuite 9 points sur la droite et on
en baptise de toutes les fa<;:ons possibles 3 comme «barres», le reste en « boules ».
On voit que de cette maniere on ecrit une fois et une seule toutes les partitions.
Voila pourquoi on aura bien
-(N-l+M)
Zµ.
N-1
1 En arithmetique, ceci s'appelle une partition de Men N entiers.
CHAPITRE 4. L'OSCILLATEUR HARMONIQUE
ou [X] designe la partie entiere de X. C' est le nombre ( discret) possible d' etats
d' energie inferieure a E. On observera que sa traduction continue correspond
au cas classique (Eq. 4.1 ). En effet, la fonction continue qui approche au mieux
la fonction [x] est y = x-1/2 et non y = x.
Canonique, un oscillateur quantique. L' obtention de z est immediat, c' est la somme
d'une serie geometrique convergente
00
l
1
z = I e-,Bliw(n+:z) =
.
n=O
2 sinh,Blif
On en deduit par exemple que
(E) = _ 81n z = nw 1 '
a,a 2 tanh,Blif
qui tend vers kb T quand ,B -+ 0.
Remarque : La limite haute temperature est classique : c'est celle qu'aurait
donnee le theoreme d' equipartition de l' energie, soit 1 /2kb T par degre de liberte
quadratique (ici, il ya l'energie cinetique et l'energie potentielle).
Microcanonique, N oscillateurs quantiques. L'energie totale du systeme de N oscillateurs s'ecrit
N
E = nw(n1 + n2 + · · · + nN + - ).
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Fixer E c'est fixer L~, ni = M. La fonction de partition microcanonique sera
done egale au nombre de choix possibles 1 de N entiers ni, tous positifs ou nuls
et de somme donnee egale a M. Ce calcul necessite une astuce. Pour fixer les
idees, prenons M = 6 et N = 4. Sur la Fig. 4.1 on a porte les ni boules separees par
N -1 traits. lei n1 = 2, n2 = 0, n3 = 3 et n4 = 1. II ya 3 traits. Toutes les partitions
de 6 peuvent etre obtenues en melangeant clans un sac les M = 6 boules et les
N -1 = 3 traits, soit M + N -1 objets. On trace ensuite 9 points sur la droite et on
en baptise de toutes les fa<;:ons possibles 3 comme «barres», le reste en « boules ».
On voit que de cette maniere on ecrit une fois et une seule toutes les partitions.
Voila pourquoi on aura bien
-(N-l+M)
Zµ.
N-1
1 En arithmetique, ceci s'appelle une partition de Men N entiers.