SOLUTIONS DES EXERCICES
3. On sait que
p2
1
--+-mw 2 q2 = 1.
2mE 2E
155
(1.13)
C'est l'equation d'une ellipse de demi-grands axes Y2mE et ~2E/mw 2 , voir la
Fig. 1.4 (a droite).
On voit sur ces exemples que les trajectoires clans l'espace de phase ne sont pas
les trajectoires au sens habituel (c'est-a-dire clans l'espace geometrique).
Solution 1.9 Si deux trajectoires distinctes de l' espace des phases avaient un point
commun {q0,p0}, cela signifierait qu'on pourrait obtenir deux solutions distinctes pour
Jes memes conditions initiales 6 .
Solution 1.10
1. La trajectoire etant fermee, on repassera apres un tour par !es memes points
{p,q} de l'espace des phases, c'est-a-dire par Jes memes points de l'espace reel et
avec les memes vitesses. On a
.Jl(E) = I I dp dq,
ou l'integrale double est etendue a l'interieur de la courbe fermee H(p, q) = E
clans le plan de phase. Soit
.Jl(E) = lqmax dq L2 dp = 2 iqmax ~2m(E- V(q)) dq.
q,,111,
z,;; q111111
Par derivation sous le signe somme
Par ailleurs comme
O.Jl
lqmax
dq
a=2m
.
E
q,,,;,, ~2m(E- V(q))
1
-mv 2 + V(q) = E,
2
6 Pour certains systemes bornes, une variation infinitesimale des conditions initiales (dans une large gamme
de ces conditions et pas seulement autour d'un point isole instable) peut engendrer tres rapidement des
trajectoires tres differentes. Comme on ne peut jamais connaitre avec une precision infinie ces conditions
initiales, le mouvement devient impredictible, bien qu'on en connaisse la loi. C'est le phenomene du
chaos deterministe.