SOLUTIONS DES EXERCICES
153
Revenons au cas w < We, ou la suite diverge. Feynman affirme que la partie
n~elle (dissipative) de z*, qu'il considere bien comme la limite physique de la
suite, provient du fait que dans un reseau infini « l'energie du generateur peut
etre absorbee et dissipee en permanence clans le reseau ». Comment justifier
convenablement ce paradoxe?
3. A la limite r ---t O la nouvelle cellule elementaire est identique a l'ancienne.
lnteressons-nous au cas w
lf'(z*)l=l--2
e o e+O(r2).
2ro
~l-w2
w2
C
(1.11)
Ce qui signifie que pour tout r i= 0, !'application fest contractante et que le
point fixe
* iLw+ r
z =---+
2
(iLw+r) 2 iLw+r
----+.
r·
4
1Cw+ 2 ro
(1.12)
donne comme solution de l'Eq. 1.6 est bien limite de la suite z11 • Cette limite
contient bien sur une partie reelle ( un terme dissipatif) qui depend de r. Mais ce
qui est remarquable, c'est qu'elle ne s'annule pas a la limiter ---t 0. On retrouve
ainsi la valeur don nee par Feynman L!f [ i + ~ :~ - 1].
En d'autres termes, on retrouve le resultat physique en prenant
lim lim z11 (r) et pas lim limz11 (r),
r->0 n->oo
11-->oo r->0
cette derniere limite n'ayant aucun sens.
4. A l'aide de l'ordinateur, il est facile de dessiner la partie reelle de z* (Eq. 1.12)
comme fonction de w pour differentes valeurs de r. Pour r = 0, on obtient
exactement un demi-cercle.
Commentaire: On peut comparer la Fig. 1.3 avec la Fig. 7.5 qui est le diagramme de
phase { T, m} d'un modele d'Ising. Le parametre d' ordre x* et le parametre de controle
w correspondent respectivement a m, magnetisation moyenne, et T, temperature. Cette
analogie est plus profonde que la forme des courbes : on sait que pour obtenir une
magnetisation spontanee, il faut un petit champ magnetique exterieur B, briseur de
symetrie, qu'on fera tendre vers O apres passage a la limite thermodynamique. lei il faut
introduire r, faire tendre n vers l'infini, puis r vers 0. De meme que la magnetisation
spontanee existe parce qu'il existe toujours un champ magnetique residue! non nul, le
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Revenons au cas w < We, ou la suite diverge. Feynman affirme que la partie
n~elle (dissipative) de z*, qu'il considere bien comme la limite physique de la
suite, provient du fait que dans un reseau infini « l'energie du generateur peut
etre absorbee et dissipee en permanence clans le reseau ». Comment justifier
convenablement ce paradoxe?
3. A la limite r ---t O la nouvelle cellule elementaire est identique a l'ancienne.
lnteressons-nous au cas w
lf'(z*)l=l--2
e o e+O(r2).
2ro
~l-w2
w2
C
(1.11)
Ce qui signifie que pour tout r i= 0, !'application fest contractante et que le
point fixe
* iLw+ r
z =---+
2
(iLw+r) 2 iLw+r
----+.
r·
4
1Cw+ 2 ro
(1.12)
donne comme solution de l'Eq. 1.6 est bien limite de la suite z11 • Cette limite
contient bien sur une partie reelle ( un terme dissipatif) qui depend de r. Mais ce
qui est remarquable, c'est qu'elle ne s'annule pas a la limiter ---t 0. On retrouve
ainsi la valeur don nee par Feynman L!f [ i + ~ :~ - 1].
En d'autres termes, on retrouve le resultat physique en prenant
lim lim z11 (r) et pas lim limz11 (r),
r->0 n->oo
11-->oo r->0
cette derniere limite n'ayant aucun sens.
4. A l'aide de l'ordinateur, il est facile de dessiner la partie reelle de z* (Eq. 1.12)
comme fonction de w pour differentes valeurs de r. Pour r = 0, on obtient
exactement un demi-cercle.
Commentaire: On peut comparer la Fig. 1.3 avec la Fig. 7.5 qui est le diagramme de
phase { T, m} d'un modele d'Ising. Le parametre d' ordre x* et le parametre de controle
w correspondent respectivement a m, magnetisation moyenne, et T, temperature. Cette
analogie est plus profonde que la forme des courbes : on sait que pour obtenir une
magnetisation spontanee, il faut un petit champ magnetique exterieur B, briseur de
symetrie, qu'on fera tendre vers O apres passage a la limite thermodynamique. lei il faut
introduire r, faire tendre n vers l'infini, puis r vers 0. De meme que la magnetisation
spontanee existe parce qu'il existe toujours un champ magnetique residue! non nul, le