SOLUTIONS DES EXERCICES
151
Solution 1.6 11 suffit de considerer le developpement en serie de Fourier de la fonction
impaire de periode 21r et qui vaut a clans l'intervalle ouvert ]O,rr[. On sait que
an=~ ( f(x)dx et, a cause de la parite bn = 0.
TJm
lei, done,
4 lrr . 4a 2
an = -a sm nx dx = - - si n impair et O sinon,
21r
O
21r n
ce qui verifie le resultat a = ~.
I
~
1
1
1
11,1,' '+"
1
,..,,,.,,, ~-Tr'", ,,., -'""-'""="-"..-' ",<,' ...,, ' :.:,.' _,;.,/ ~11--, - - nl 4
I '
I
I
I
I
I
0,5 .!...
l
-o,s~ --- N=10
- N=100
-rr/4
I
-10
1
I
2
I
3
I
I
I
I
I
I
I
I
I
I "
PY1 "
'.!
I
4
5
FIGURE 1.2. Dessin des fonctions 510 (x) et de 5100 (x) comparees a Ia Iimite
thermodynamique
Solution 1. 7
1. Le circuit a n + 1 cellules peut etre vu comme un circuit compose d'une impedance Z 1 montee en serie avec les impedances Z2 et Zn elles-memes montees en
parallele. D'ou la formule proposee. Mathematiquement le probleme est bien
pose : trouver la limite de la suite Zn definie par la relation de recurrence ( 1.1) de
l'enonce, qu'on ecrira Zn+I = f(zn), avec la condition initiale z1 = Z 1 + Z2. On a
vu (Cf le theoreme du point fixe clans l'appendice mathematique) que la limite,
si elle existe, est solution de !'equation z = f(z). Soit, ici
( 1.5)