SOLUTIONS DES EXERCICES
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Remarque : En fait, nous avons traite un probleme beaucoup plus general, celui de
trouver la loi de distribution d'une variable aleatoire n qui est somme de N variables
aleatoires independantes valant a ou b avec la meme probabilite. Par exemple, pour
a= 1 et b = -1, c' est le probleme de la marche al ea to ire sur une droite ou du mouvement
brownien a une dimension ou celui du gain clans un jeu equitable. En considerant
que la valeur d'un actif en bourse est la somme de ses variations, c'est aussi le modele
financier qui va inspirer Bachelier 3 .
Solution 1.4 La reponse elementaire est qu'il ya n x 10- 2 molecules clans S 1, n x 10- 4
dans S2, etc. Mais que signifierait n x 10- 24 = 1/10 clans S12 , la molecule ne pouvant se
couper en 10? Manifestement, qu'il ya une molecule (en moyenne) tousles 10 flacons
de l litre.
Dans ce probleme de dilution tout se passe comme si, a la rieme dilution, on
extrayait un volume v de 1 litre d'un volume V de 10or litres contenant exactement n
molecules. Si le melange est homogene, la probabilite pour qu'une molecule donnee
soit dans le volume vest p = v/V = 10- 2 r. La probabilite que ce volume en contienne
exactement k est donnee par la loi binomiale :
P(k) = (;)l(l-p )'1-k.
Cette equation suppose l'independance des probabilites, c'est-a-dire que les particules
de solute n'interagissent pas entre ell es 4 . C' est une approximation (justifiee) de faible
densite. On trouve al ors que c' est bien la valeur moyenne :
< k) - __!!_
- 102r'
qui coi:ncide avec la reponse elementaire de la « regle de trois ».
Des qu'on a 10 2 r '.::,!non peut considerer la loi binomiale comme une loi de Poisson
de variance :
(}" = -Im = ...jn.
1or
Pour r = 12, on a (k) = 1/10 et done O" '.::,! 0.33, et pour r = 15, (k) = 10- 7 , ce qui veut
dire qu'il y aurait en moyenne une molecule tous les dix millions flacons de 1 litre 5 .
3 Auteur d'une these en 1900 consideree comme point de depart des mathematiques financieres modernes.
4 En effet, si elles interagissent, la probabilite de trouver une particule a un endroit depend de la presence
des autres au tour d' ell es.
5 L'homeopathie utilise souvent des dilutions plus fortes que celle-ci (15 CH) ; en fait des dilutions de
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Remarque : En fait, nous avons traite un probleme beaucoup plus general, celui de
trouver la loi de distribution d'une variable aleatoire n qui est somme de N variables
aleatoires independantes valant a ou b avec la meme probabilite. Par exemple, pour
a= 1 et b = -1, c' est le probleme de la marche al ea to ire sur une droite ou du mouvement
brownien a une dimension ou celui du gain clans un jeu equitable. En considerant
que la valeur d'un actif en bourse est la somme de ses variations, c'est aussi le modele
financier qui va inspirer Bachelier 3 .
Solution 1.4 La reponse elementaire est qu'il ya n x 10- 2 molecules clans S 1, n x 10- 4
dans S2, etc. Mais que signifierait n x 10- 24 = 1/10 clans S12 , la molecule ne pouvant se
couper en 10? Manifestement, qu'il ya une molecule (en moyenne) tousles 10 flacons
de l litre.
Dans ce probleme de dilution tout se passe comme si, a la rieme dilution, on
extrayait un volume v de 1 litre d'un volume V de 10or litres contenant exactement n
molecules. Si le melange est homogene, la probabilite pour qu'une molecule donnee
soit dans le volume vest p = v/V = 10- 2 r. La probabilite que ce volume en contienne
exactement k est donnee par la loi binomiale :
P(k) = (;)l(l-p )'1-k.
Cette equation suppose l'independance des probabilites, c'est-a-dire que les particules
de solute n'interagissent pas entre ell es 4 . C' est une approximation (justifiee) de faible
densite. On trouve al ors que c' est bien la valeur moyenne :
< k) - __!!_
- 102r'
qui coi:ncide avec la reponse elementaire de la « regle de trois ».
Des qu'on a 10 2 r '.::,!non peut considerer la loi binomiale comme une loi de Poisson
de variance :
(}" = -Im = ...jn.
1or
Pour r = 12, on a (k) = 1/10 et done O" '.::,! 0.33, et pour r = 15, (k) = 10- 7 , ce qui veut
dire qu'il y aurait en moyenne une molecule tous les dix millions flacons de 1 litre 5 .
3 Auteur d'une these en 1900 consideree comme point de depart des mathematiques financieres modernes.
4 En effet, si elles interagissent, la probabilite de trouver une particule a un endroit depend de la presence
des autres au tour d' ell es.
5 L'homeopathie utilise souvent des dilutions plus fortes que celle-ci (15 CH) ; en fait des dilutions de