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CHAPITRE I. MISE EN JAM BES
C'est la probabilite que le nombre de molecules a droite soit compris entre n
et n + dn. Comparer avec le resultat exact, Eq. 1.1, n'a de sens qu'autour de
n = ~, aussi est-il naturel de poser n = N;5 et de chercher un developpement
de l'Eq. 1.1 en puissance du petit parametre s. On a, a l'aide de la formule de
Stirling complete :
( N) N!
NN2N
N;s = ( N{5)!( N;-5)! ~ (N + stt (N -sti' 2rr(N+s~(N-s).
N
D'ou:
On ecrit alors que
(
1
s 2 ) S
1- .l.
logP(s) ~ N logN- -logN 2 (1- - 2 ) + -log---4
2
N
2
l+N
+~ (1og2N-logrr-logN 2 (1-l_ )) .
2
N2
Et par un developpement limite en -f:J,
1 s 2 1
2
logP(s) ~ -- - + - log-.
2 N 2
rrN
Done asymptotiquement on obtient
P(s) ~ ~e-fu.
( 1.3)
Or la formule (1.2) donne 1 pour la loi de la variable aleatoire s = 2n-N
1 1
s2
1
R(s)ds = - - - e-m ds = -P(s)ds.
2M 2
D' ou vient 2 ce facteur ! ? Lorsqu' on a applique la formule de Stirling a ( ~' ), on
n'a pas tenu compte de ce que N + s devait etre pair (n, le nombre de molecules a
droite doit etre un entier); sinon la probabilite est nulle (evenement impossible).
Done, clans un cas sur deux, il faut prendre P(s) = 0. D'ou le facteur ! a la limite
continue.
1 Comme R(s)ds = Q(n)dn et dn = ds/2, R(s) = f Q(n(s)).
2 Qui met en evidence que la limite continue de P(s) n'est pas normalisee.