13.10 INTEGRALES DE FERMI
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Exercice 13.3. [PD] [Equation logistique.] Calculer le point fixe de la suite (13.32).
A quelle condition sur A est-ii stable? Regarder numeriquement ce qui se passe
pour A= 4.
1 J. IO lntegrales de Fermi
Ce sont des integrales du type
I
Ev
Iv=
ef3( ) de,
1 + f-µ
qu'on voudra evaluer a la limite de haute et basse temperature.
1. Pour f3 petit (T grand).
On pose x = /3E et z = tf3µ et on sait que z - 0 (µ doit etre < 0 pour que la densite
reste finie).
Iv= - -
dx = -dx
1 I xv 1 I xv ze-x
13v+ I
1 + z-1 eX
13v+I
1 + ze-x
et comme ze-x < 1, on peut faire le developpement en serie:
I = _l_ ~Jxv(-t+lzne-nxdx.
v 13v+I LJ
n=I
Posant nx = t et isolant la fonction r qui apparait :
Soit
vn z2
Ii12 = 2/33/2 [z- 23/2 + ... ]
3 vn z 2
h12 = 2 213s12 [z- 2s/2 + ... ]
2. pour /3 grand (T petit). Montrons le lemme de Sommerfeld.
A la limite T = 0, il est clair que pour tout c.p( E) :
l µ c.p(E) lµ
ef3( _ ) de=
c.p(c)dc.
0 l+ fµ
0